Cho hình lăng trụ tứ giác đều \(ABCD.A'B'C'D'\) có cạnh đáy bằng \[a,\] cạnh bên bằng \(a\sqrt 3 .\) Tính cosin của góc giữa hai mặt phẳng \(\left( {ABCD} \right)\) và \(\left( {ABC'} \right)

Ta có\(AB \bot \left( {BCC'B'} \right) \Rightarrow AB \bot BC'\).

Ta có:\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\left( {ABCD} \right) \cap \left( {ABC'} \right) = AB}\\{BC{\mkern 1mu} \subset \left( {ABCD} \right),{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \,BC \bot AB}\\{BC' \subset \left( {ABC'} \right),{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \,BC' \bot AB}\end{array}} \right.\)\( \Rightarrow \widehat {\left( {\left( {ABCD} \right),\left( {ABC'} \right)} \right)} = \widehat {\left( {BC,BC'} \right)} = \widehat {CBC'}\).

Xét tam giác vuông\(BCC'\) có: \(\tan \widehat {CBC'} = \frac{{CC'}}{{BC}} = \frac{{a\sqrt 3 }}{a} = \sqrt 3 \).

Do đó \(\widehat {CBC'} = 60^\circ \Rightarrow \cos \widehat {CBC'} = \frac{1}{2}\).

Đáp án:\(\frac{1}{2}\).