Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A'B'C' có cạnh đáy bằng a và cạnh bên bằng 3a/2. Góc giữa hai mặt phẳng (A'BC) và (ABC) bằng bao nhiêu độ?
Giải thích
Hướng dẫn giải
Trả lời: 60
Ta có \((ABC) \cap \left( {A'BC} \right) = BC\).
Gọi trung điểm của cạnh \(BC\) là \(M\).
Tam giác \(ABC\) đều nên ta có: \(AM \bot BC\) (1).
\(ABC.A'B'C'\) là lăng trụ đều nên \(AA' \bot (ABC) \Rightarrow AA' \bot BC\) (2).
Từ (1) và (2) ta suy ra \(BC \bot \left( {AA'M} \right) \Rightarrow BC \bot A'M\).
Suy ra: góc \(\varphi \) giữa hai mặt phẳng \(\left( {A'BC} \right)\) và \((ABC)\) là góc giữa hai đường thẳng \(AM\) và \(A'M\). Vì tam giác \(A'AM\) vuông tại \(A\) nên suy ra \(\varphi = \widehat {A'MA}\).
Ta có: \(\tan \varphi = \frac{{AA'}}{{AM}} = \frac{{\frac{{3a}}{2}}}{{\frac{{a\sqrt 3 }}{2}}} = \sqrt 3 \).
Suy ra \(\varphi = 60^\circ \).