Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A'B'C' có AB =a√3 và AA' = 2. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm các cạnh A'B', A'C' và BC

Chọn D

Gắn hệ trục tọa độ \[{\rm{Ox}}yz\] như hình vẽ \( \Rightarrow P\left( {0;0;0} \right),\,A\left( {3;0;0} \right),\,B\left( {0;\sqrt 3 ;0} \right),\,C\left( {0; - \sqrt 3 ;0} \right),\,A'\left( {3;0;2} \right),\,B'\left( {0;\sqrt 3 ;2} \right),\,C'\left( {0; - \sqrt 3 ;2} \right)\)

nên \(M\left( {\frac{3}{2};\frac{{\sqrt 3 }}{2};2} \right),\,N\left( {\frac{3}{2}; - \frac{{\sqrt 3 }}{2};2} \right)\)

Ta có vtpt của mp\(\left( {AB'C'} \right)\) là \(\overrightarrow {{n_1}}  = \frac{1}{{2\sqrt 3 }}\left[ {\overrightarrow {AB'} ,\overrightarrow {AC'} } \right] = \left( {2;0;3} \right)\) và vtpt của mp\(\left( {MNP} \right)\) là \(\overrightarrow {{n_2}}  = \left( {4;0; - 3} \right)\)

Gọi \(\varphi \) là góc giữa hai mặt phẳng \(\left( {AB'C'} \right)\) và mp\(\left( {MNP} \right)\)\( \Rightarrow c{\rm{os}}\varphi  = \left| {c{\rm{os}}\left( {\overrightarrow {{n_1}} ,\overrightarrow {{n_2}} } \right)} \right| = \frac{{\left| {8 - 9} \right|}}{{\sqrt {13} \sqrt {25} }} = \frac{{\sqrt {13} }}{{65}}\)