Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A'B'C' có AB = a

Ta có: \(\overrightarrow {AB'}  \cdot \overrightarrow {BC'}  = \left( {\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {BB'} } \right)\left( {\overrightarrow {BC}  + \overrightarrow {CC'} } \right)\)

\( = \overrightarrow {AB}  \cdot \overrightarrow {BC}  + \overrightarrow {AB}  \cdot \overrightarrow {CC'}  + \overrightarrow {BB'}  \cdot \overrightarrow {BC}  + \overrightarrow {BB'}  \cdot \overrightarrow {CC'} \)

\( =  - \overrightarrow {BA}  \cdot \overrightarrow {BC}  + 0 + 0 + \overrightarrow {BB'}  \cdot \overrightarrow {BB'} \)

\( =  - BA \cdot BC \cdot \cos \widehat {ABC} + {\overrightarrow {BB'} ^2}\)

\( =  - a \cdot a \cdot \cos 60^\circ  + {\left( {a\sqrt 2 } \right)^2} =  - \frac{{{a^2}}}{2} + 2{a^2} = \frac{{3{a^2}}}{2}\).

Khi đó, \(\cos \left( {\overrightarrow {AB'} ,\,\overrightarrow {BC'} } \right) = \frac{{\overrightarrow {AB'}  \cdot \,\overrightarrow {BC'} }}{{\left| {\overrightarrow {AB'} } \right| \cdot \,\left| {\overrightarrow {BC'} } \right|}} = \frac{{\frac{{3{a^2}}}{2}}}{{a\sqrt 3  \cdot a\sqrt 3 }} = \frac{1}{2}\). Suy ra \(\left( {\overrightarrow {AB'} ,\,\overrightarrow {BC'} } \right) = 60^\circ \).

Đáp số: \(60\).