Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC . A ′B ′C ′ có cạnh đáy bằng a , CC ′ = a căn 2 . Góc giữa hai đường thẳng BA ′ và AC ′ là bao nhiêu?

Đáp án: \(\left( {BA',AC'} \right) = {60^0}\)

              Gọi \(H\)là trung điểm của \(BC\)\( \Rightarrow BC \bot AH\).

              Chọn hệ trục tọa độ \(Oxyz\) như hình vẽ với \(H\left( {0;0;0} \right)\).

              Khi đó: \(A\left( {\frac{{a\sqrt 3 }}{2};0;0} \right)\), \(A'\left( {\frac{{a\sqrt 3 }}{2};0;a\sqrt 2 } \right)\), \(B\left( {0; - \frac{a}{2};0} \right)\), \(C'\left( {0;\frac{a}{2};a\sqrt 2 } \right)\)

              \[ \Rightarrow \,\overrightarrow {AC'}  = \left( { - \frac{{a\sqrt 3 }}{2};\frac{a}{2};a\sqrt 2 } \right)\], \[\overrightarrow {BA'}  = \left( {\frac{{a\sqrt 3 }}{2};\frac{a}{2};a\sqrt 2 } \right)\]

              \(\cos \left( {BA',AC'} \right) = \frac{{\left| {\overrightarrow {BA'} .\overrightarrow {AC'} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow {BA'} } \right|.\left| {\overrightarrow {AC'} } \right|}}\)

              \( = \frac{{\left| {\frac{{a\sqrt 3 }}{2}.\left( { - \frac{{a\sqrt 3 }}{2}} \right) + \frac{a}{2}.\frac{a}{2} + a\sqrt 2 .a\sqrt 2 } \right|}}{{\sqrt {{{\left( {\frac{{a\sqrt 3 }}{2}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{a}{2}} \right)}^2} + {{\left( {a\sqrt 2 } \right)}^2}} .\sqrt {{{\left( { - \frac{{a\sqrt 3 }}{2}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{a}{2}} \right)}^2} + {{\left( {a\sqrt 2 } \right)}^2}} }}\)\( = \frac{1}{2}\).

              \( \Rightarrow \left( {BA',AC'} \right) = {60^0}\).