Cho hình lăng trụ tam giác đều A B C . A 1 B 1 C 1 có cạnh đáy bằng x và chiều cao bằng y

A	B	C	D
Đúng	Đúng	Sai	Đúng

Ta có \[\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC}  = AB.AC.\cos 60^\circ  = \frac{1}{2}{x^2}\].

\[\overrightarrow {A{C_1}}  = \overrightarrow {AC}  + \overrightarrow {A{A_1}} \]

\[AC{C_1}{A_1}\] là hình chữ nhật nên ta có \[\overrightarrow {A{C_1}}  = \overrightarrow {AC}  + \overrightarrow {A{A_1}} \].

\[\overrightarrow {C{B_1}}  = \overrightarrow {CB}  + \overrightarrow {C{C_1}}  = \overrightarrow {AB}  - \overrightarrow {AC}  + \overrightarrow {A{A_1}} \].

Ta có \[\overrightarrow {A{C_1}} .\overrightarrow {C{B_1}}  = \left( {\overrightarrow {AC}  + \overrightarrow {A{A_1}} } \right).\left( {\overrightarrow {AB}  - \overrightarrow {AC}  + \overrightarrow {A{A_1}} } \right) = {y^2} - \frac{1}{2}{x^2}\] và \[A{C_1} = C{B_1} = \sqrt {{x^2} + {y^2}} \].

Khi đó \[\cos \left( {A{C_1},\,C{B_1}} \right) = \left| {\cos \left( {\overrightarrow {A{C_1}} ,\,\overrightarrow {C{B_1}} } \right)} \right| = \frac{{\left| {\overrightarrow {A{C_1}} .\overrightarrow {C{B_1}} } \right|}}{{A{C_1}.C{B_1}}} = \frac{{\left| {{y^2} - \frac{1}{2}{x^2}} \right|}}{{{x^2} + {y^2}}}\].

Theo đề \[\left( {A{C_1},\,C{B_1}} \right) > 60^\circ \], suy ra \[\frac{{\left| {{y^2} - \frac{1}{2}{x^2}} \right|}}{{{x^2} + {y^2}}} < \frac{1}{2} \Leftrightarrow 3{y^4} - 6{x^2}{y^2} < 0 \Leftrightarrow \frac{y}{x} < \sqrt 2 \].