Cho hình lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có thể tích bằng V. Các điểm M, N, P lần lượt thuộc cạnh AA’

39/50

Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có thể tích bằng V. Các điểm M, N, P lần lượt thuộc cạnh AA’, BB’, CC’ sao cho \(\frac{{AM}}{{AA'}} = \frac{1}{2},\,\,\,\frac{N}{{BB'}} = \frac{{CP}}{{CC'}} = \frac{3}{4}\). Thể tích khối đa diện ABC.MNP là:

\(\frac{2}{3}V\)

\(\frac{1}{8}V\)

\(\frac{1}{3}V\)

\(\frac{1}{2}V\)

Giải thích

Đáp án A

Phương pháp:

Phân chia và lắp ghép các khối đa diện.

Cách giải:

Cho hình lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có thể tích bằng V. Các điểm M, N, P lần lượt thuộc cạnh AA’ (ảnh 1)

Gọi E, F lần lượt là trung điểm của BB’, CC’. Khi đó: ABC.MEF là hình lăng trụ đứng và \({V_{ABC.MEF}} = \frac{1}{2}V\)

Ta có:

\({V_{M.EFNP}} = \frac{1}{4}{V_{M.BCC'B'}} = \frac{1}{4}.{V_{ABCC'B'}} = \frac{1}{4}.\left( {V - {V_{A.A'B'C'}}} \right) = \frac{1}{4}\left( {V - \frac{V}{3}} \right) = \frac{1}{4}.\frac{2}{3}V = \frac{V}{6}\)

\( \Rightarrow {V_{ABC.MNP}} = {V_{ABC.MEF}} + {V_{M.EFNP}} = \frac{1}{2}V + \frac{1}{6}V = \frac{2}{3}V\)