Cho hình lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có đáy là tam giác vuông cân tại A, AB = AC = a, AA' = a căn 2. Thể tích khối cầu ngoại tiếp

34/50

Cho hình lăng trụ đứng $ABC.A'B'C'$ có đáy là tam giác vuông cân tại $A$, $AB = AC = a$, $AA' = \sqrt 2 a$. Thể tích khối cầu ngoại tiếp hình tứ diện $AB'A'C$ là

$\frac{{\pi {a^3}}}{3}$.

$4\pi {a^3}$.

$\pi {a^3}$.

$\frac{{4\pi {a^3}}}{3}$.

Giải thích

$Cho hình lăng trụ đứng $ABC.A'B'C'$ có đáy là tam giác vuông cân tại $A$, $AB = AC = a$, $AA' = \sqrt 2 a$. Thể tích khối cầu ngoại tiếp hình tứ diện $AB'A'C$ là (ảnh 1)$

Khối cầu ngoại tiếp tứ diện $AB'A'C$ là khối cầu ngoại tiếp lăng trụ $BAC.A'B'C'$

Gọi $D,E$ lần lượt là trung điểm của $BC,B'C';O$ là trung điểm của $DE$

$ \Rightarrow O$ là tâm khối cầu ngoại tiếp lăng trụ $BAC.A'B'C'$ (do đáy là $\Delta ABC$ vuông cân tại $A)$

Ta có: $OD = \frac{{AA'}}{2} = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}$ và $BC = \sqrt {A{B^2} + A{C^2}} = \sqrt {2{a^2}} = a\sqrt 2 \Rightarrow AD = \frac{{BC}}{2} = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}$

Bán kính khối cầu ngoại tiếp lăng trụ $ABC.A'B'C'$ là $R = OA = \sqrt {A{D^2} + O{D^2}} = \sqrt {{a^2}} = a$

Vậy thể tích khối cầu cần tính là $V = \frac{4}{3}\pi {R^3} = \frac{{4\pi {a^3}}}{3}.$

Đáp án A