Cho hình lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có đáy ABC vuông tại A,AB = căn bậc hai của 3 ,AC = AA' = 1. Giá trị sin của góc giữa đường thẳng AC' và mặt phẳng (BCC'B') bằng a căn bậc hai của (6/b) với

Hướng dẫn giải

Trả lời: −15

Hạ \(AH \bot BC\) mà \(\left( {ABC} \right) \bot \left( {BCC'B'} \right)\) và \(\left( {ABC} \right) \cap \left( {BCC'B'} \right) = BC\) nên \(AH \bot \left( {BCC'B'} \right)\).

Do đó \(\left( {AC',\left( {BCC'B'} \right)} \right) = \left( {AC',HC'} \right) = \widehat {AC'H}\).

Ta có \(\frac{1}{{A{H^2}}} = \frac{1}{{A{B^2}}} + \frac{1}{{A{C^2}}} = \frac{1}{3} + \frac{1}{1} = \frac{4}{3} \Rightarrow AH = \frac{{\sqrt 3 }}{2}\).

\(AC' = \sqrt {A{{A'}^2} + A'{{C'}^2}}  = \sqrt {{1^2} + {1^2}}  = \sqrt 2 \).

Xét \(\Delta AHC'\) vuông tại \(H\), ta có \(\sin \widehat {AC'H} = \frac{{AH}}{{AC'}} = \frac{{\sqrt 3 }}{2}:\sqrt 2  = \frac{{\sqrt 6 }}{4}\).

Suy ra \(a = 1;b = 4\). Do đó \({a^2} - {b^2} =  - 15\).