Cho hình lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có đáy ABC là tam giác vuông tại B

Gọi \(I\) là trung điểm \(BB'\), suy ra \(AB'\,{\rm{//}}\,MI\).

Xét mặt phẳng \((MIC)\) có \[MI\,{\rm{//}}\,AB' \Rightarrow AB'\,{\rm{//}}\,\left( {MIC} \right)\]

Mà \(CM \in (MIC)\) nên

\(d\left( {AB'\,;\,\,CM} \right) = d\left( {AB'\,;\,\,\left( {MIC} \right)} \right) = d\left( {A\,,\,\,\left( {MIC} \right)} \right)\)

Lại xét đoạn thẳng \(AB\) cắt \[\left( {MIC} \right)\] tại \(M\) với \(MA = MB\)

\( \Rightarrow d\left( {A\,,\,\,\left( {MIC} \right)} \right) = d\left( {B\,,\,\,\left( {MIC} \right)} \right)\)\[ \Rightarrow d\left( {AB'\,,\,\,CM} \right) = d\left( {B\,,\,\,\left( {MIC} \right)} \right).\]

Mặt khác ta có tứ diện \(B.AB'C\) có \(BA\,,\,\,BB'\,,\,\,BC\) đôi một vuông góc nhau nên

\(\frac{1}{{d{{\left( {B\,,\,\,\left( {MIC} \right)} \right)}^2}}} = \frac{1}{{B{I^2}}} + \frac{1}{{B{M^2}}} + \frac{1}{{B{C^2}}} = \frac{1}{{{6^2}}} + \frac{1}{{{3^2}}} + \frac{1}{{{3^2}}} = \frac{1}{{{2^2}}}\)

\( \Rightarrow d\left( {B\,,\,\,\left( {MIC} \right)} \right) = 2 \Rightarrow d\left( {AB'\,,\,\,CM} \right) = d\left( {B\,,\,\,\left( {MIC} \right)} \right) = 2\).

Đáp án: 2.