Cho hình lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có đáy ABC là tam giác vuông tại A,AB = a\sqrt 3 ,BC = 2a, đường thẳng

36/50

Cho hình lăng trụ đứng $ABC.A'B'C'$ có đáy $ABC$ là tam giác vuông tại $A,AB = a\sqrt 3 ,BC = 2a,$ đường thẳng $AC'$ tạo với mặt phẳng $\left( {BCC'B'} \right)$ một góc ${30^0}.$ Diện tích của mặt cầu ngoại tiếp hình lăng trụ đã cho bằng

$24\pi {a^2}$.

$3\pi {a^2}$.

$4\pi {a^2}$.

$6\pi {a^2}$.

Giải thích

$Cho hình lăng trụ đứng $ABC.A'B'C'$ có đáy $ABC$ là tam giác vuông tại $A,AB = a\sqrt 3 ,BC = 2a,$ đường thẳng $AC'$ tạo với mặt phẳng $\left( {BCC'B'} \right)$ một góc ${30^0}.$ (ảnh 1)$

Ta có $AC = \sqrt {B{C^2} - A{B^2}} = a$

Gọi $H$ là hình chiếu của $A$ trên $BC \Rightarrow AH = \frac{{AB.AC}}{{BC}} = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}.$

Ta có $\left( {AC',\left( {BCC'B'} \right)} \right) = \left( {AC',HC'} \right) = \widehat {AC'H} \Rightarrow \widehat {AC'H} = {30^0} \Rightarrow AC' = 2AH = a\sqrt 3 .$

$ \Rightarrow CC' = \sqrt {AC{'^2} - A{C^2}} = a\sqrt 2 .$

Gọi $O,O',I$ lần lượt là trung điểm của $BC,B'C',OO' \Rightarrow I$ là tâm mặt cầu ngại tiếp lăng trụ.

$ \Rightarrow R = AI = \sqrt {A{O^2} + O{I^2}} = \sqrt {{{\left( {\frac{{BC}}{2}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{{CC'}}{2}} \right)}^2}} = \frac{{a\sqrt 6 }}{2}.$

Vậy diện tích mặt cầu là $4.\pi .{\left( {\frac{{a\sqrt 6 }}{2}} \right)^2} = 6\pi {a^2}.$

Đáp án D