Cho hình lăng trụ đứng A B C A ′ B ′ C ′ đáy là tam giác đều cạnh 2 a , A A ′ = a √ 3 . H , K lần lượt là trung điểm B C , B ′ C ′ . Các mệnh đề sau đúng hay sai ?

15/22

Cho hình lăng trụ đứng $ABC\,A'B'C'$ đáy là tam giác đều cạnh $2a,\,AA' = a\sqrt 3 $. $H,K$ lần lượt là trung điểm $BC,\,\,B'C'$. Các mệnh đề sau đúng hay sai ?

a) Hai vectơ \[\overrightarrow {AH\,} \], \[\overrightarrow {KA'\,} \] là hai vectơ cùng phương, cùng hướng.

b) Góc giữa hai vectơ \[\overrightarrow {A'H\,} \] và \[\overrightarrow {AH\,} \] bằng \[60^\circ \].

c) Tích vô hướng \[\overrightarrow {AK\,} \cdot \,\overrightarrow {AB'\,} = \frac{{5{a^2}}}{2}\].

d) Độ dài của vectơ \[\overrightarrow {AK\,} + \overrightarrow {AH\,} \] là \[\frac{{a\sqrt 3 }}{2}\].

Nhập câu trả lời ở đây

0/3000 ký tự

Giải thích

$Cho hình lăng trụ đứng $ABC\,A'B'C'$ đáy là tam giác đều cạnh $2a,\,AA' = a\sqrt 3 $. $H,K$ lần lượt là trung điểm $BC,\,\,B'C'$. Các mệnh đề sau đúng hay sai ? (ảnh 1)$

a) Ta có tam giác $\Delta ABC,\Delta A'B'C'$ đều cạnh $2a$ suy ra $A'K = AH = a\sqrt 3 $

Xét tứ giác $AA'KH$ có $AA' = KH = AH = A'K = a\sqrt 3 \,,\,AA' \bot AH$ suy ra tứ giác $AA'KH$ là hình vuông , từ đó dễ thấy hai vectơ \[\overrightarrow {AH\,} \], \[\overrightarrow {KA'\,} \] là hai vecto cùng phương ngược hướng.

Mệnh đề a) sai.

b) Ta có: $AA'KH$ là hình vuông suy ra $\widehat {A'HA} = 45^\circ $

Có : $A'A \bot AH \Rightarrow \Delta A'AH$ vuông tại $A$$ \Rightarrow \left( {\overrightarrow {A'H\,} ,\overrightarrow {AH\,} } \right) = \widehat {A'HA} = 45^\circ $

Mệnh đề b) sai.

c) Ta có $\Delta AB'C'$ cân tại $A$, suy ra $AK \bot B'C'$, $AK = a\sqrt 6 ,\,B'K = a$

$AB' = \sqrt {A{B^2} + BB{'^2}} = \sqrt {4{a^2} + 3{a^2}} = a\sqrt 7 $

Xét $\Delta AKB'$ có ${\mathop{\rm Cos}\nolimits} \widehat {KAB'} = \frac{{AK}}{{AB'}} = \frac{{a\sqrt 6 }}{{a\sqrt 7 }} = \sqrt {\frac{6}{7}} $.

$\overrightarrow {AK} .\overrightarrow {AB'} = AK.AB'.{\mathop{\rm Cos}\nolimits} \widehat {KAB'} = a\sqrt 6 .a\sqrt 7 .\sqrt {\frac{6}{7}} = 6{a^2}$

Mệnh đề c) sai.

d) Gọi $I$ là trung điểm $HK \Rightarrow IH = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}$, $AI = \sqrt {I{H^2} + A{H^2}} = \sqrt {\frac{{3{a^2}}}{4} + 3{a^2}} = \frac{{a\sqrt {15} }}{2}$.

Ta có : $\left| {\overrightarrow {AK} + \overrightarrow {AH} } \right| = \left| {2.\overrightarrow {AI} } \right| = 2AI = a\sqrt {15} $.

Mệnh đề d) đúng.