Cho hình lăng trụ đều ABC.A’B’C’ có độ dài tất cả các cạnh bằng a.

Cách 1.

 

 Gọi V là thể tích của khối đa diện lồi có các đỉnh là các điểm A, M, N, A’, B’ và C’.

Khi đó ta có V=VM.A'AN+VM.A'C'N+VM.A'B'C' 

Từ giả thiết ta có

SΔA'AN=12AA'.AN=12.a.a3=a26; SΔA'C'N=12dN,A'C'.A'C'=12.a.a=a22; 

SΔA'B'C'=12A'B'.A'C'.sin60o=a234 

Gọi H là trung điểm của AC⇒BH⊥ACC'A' và BH=a32 

⇒dM,ACC'A'=12dB,ACC'A'=12BH=a34. 

Khi đó ta có

VM.A'AN=13dM;ACC'A'.SΔA'AN=13.a34.a26=a3372.

VM.A'C'N=13dM,ACC'A'.SΔA'C'N=13.a34.a22=a3324.VM.A'B'C'=13dM,A'B'C'.SΔA'B'C'=13.a.a234=a3312. Vậy   V=VM.A'AN+VM.A'C'N+VM.A'B'C'=a3372+a3324+a3312=53a336

Cách 2.

Gọi V là thể tích của khối đa diện lồi có các đỉnh là các điểm A, M, N, A’, B’ và C’. Khi đó ta có

V=VM.AA'C'N+VM.A'B'C' .

Ta có SAA'C'N=12AA'AN+A'C'=12aa3+a=2a23. 

Suy ra VM.AA'C'N=13dM,ACC'A'.SAA'C'N=13.a34.2a33=23a336 

VM.A'B'C'=13dM,A'B'C'.SΔA'B'C'=13.a.a234=a3312. 

Vậy V=VM.AA'C'N+VM.A'B'C'=23a336+a3312=53a336.

Cách 3.

Gọi H là trung điểm của AC và V là thể tích của khối đa diện lồi có các đỉnh là các điểm A, M, N, A’, B’ và C’.

Khi đó, V=VAMH.A'B'C'−VM.NHC' 

Dễ thấy MH//B'C' nên AMH.A’B’C’ là khối chóp cụt.

Áp dụng công thức thể tích V₁ của khối chóp cụt có chiều cao h, diện tích đáy nhỏ và đáy lớn theo thứ tự là S₀, S₁ thì ta có

V1=h3S0+S0S1+S1 

Khi đó

VAMH.A'B'C'=AA'3SAMH+SAMH.SA'B'C'+SA'B'C' 

=a314.a234+14.a234.a234+a234=7a3348 

Mặt khác, VM.NHC'=13dM,ACC'A'.SNHC'=13.a34.12.a.a6=a33144 

Vậy V=VAMH.A'B'C'−VM.NHC'.=7a3348−a33144=53a336 

Chọn C