Cho hình lăng trụ ABCD.A′B′C′D′ có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng a. Hình chiếu vuông góc của điểm A′ trên mặt phẳng (ABCD) là trung điểm I của cạnh AB. Biết A′C tạo với mặt phẳng đáy một

8/32

Cho hình lăng trụ ABCD.A′B′C′D′ có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng a. Hình chiếu vuông góc của điểm A′ trên mặt phẳng (ABCD) là trung điểm I của cạnh AB. Biết A′C tạo với mặt phẳng đáy một góc α với \[tan\alpha = \frac{2}{{\sqrt 5 }}\]. Thể tích khối chóp A′.ICD là:

\[\frac{{{a^3}}}{6}\]

\[\frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{6}\]

\[\frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{3}\]

\[\frac{{{a^3}}}{3}\]

Giải thích

Theo bài ra ta có: IC là hình chiếu vuông góc của A′C trên (ABCD)

\[ \Rightarrow \widehat {\left( {A'C;\left( {ABCD} \right)} \right)} = \widehat {\left( {A'C;IC} \right)} = \widehat {A'CI} = \alpha \]

Xét tam giác vuông IBC có:\[IC = \sqrt {I{B^2} + B{C^2}} = \sqrt {\frac{{{a^2}}}{4} + {a^2}} = \frac{{a\sqrt 5 }}{2}\]

Xét tam giác vuông A′IC có:\[A'I = IC.\tan \alpha = \frac{{a\sqrt 5 }}{2}.\frac{2}{{\sqrt 5 }} = a\]

\[{S_{{\rm{\Delta }}ICD}} = \frac{1}{2}d\left( {I;CD} \right).CD = \frac{1}{2}a.a = \frac{{{a^2}}}{2}\]

Vậy\[{V_{A'.ICD}} = \frac{1}{3}A'I.{S_{{\rm{\Delta }}ICD}} = \frac{1}{3}.a.\frac{{{a^2}}}{2} = \frac{{{a^3}}}{6}\]

Đáp án cần chọn là: A