Cho hình lăng trụ \[ABC.A'B'C'\] có thể tích làV, gọi M, N lần lượt là trung điểm

46/50

Cho hình lăng trụ \[ABC.A'B'C'\] có thể tích làV, gọi M, N lần lượt là trung điểm của \[A'C'\] và \[B'C'\], G là trọng tâm tam giác \[ABC,\] mặt phẳng \[\left( {MNG} \right)\] chia khối lăng trụ đã cho thành hai phần, thể tích khối đa diện chứa đỉnh C′ là

\[\frac{{25}}{{108}}V.\]

\[\frac{{36}}{{108}}V.\]

\[\frac{{41}}{{108}}V.\]

\[\frac{{37}}{{108}}V.\]

Giải thích

Đáp án D

Do \(MN{\rm{ /

$Cho hình lăng trụ \[ABC.A'B'C'\] có thể tích làV, gọi M, N lần lượt là trung điểm (ảnh 1)$

/ A'B' // AB}}\) nên mặt phẳng $\left( {MNG} \right)$ cắt AC và BC tại Q, P thì $PQ{\rm{ // MN // AB}}$.

Gọi $S = {S_{ABC}}$; h là chiều cao khối lăng trụ.

Ta thấy $MNC'.QPC$ là khối chóp cụt.

${S_1} = {S_{C'NM}} = \frac{S}{4};{\rm{ }}{{\rm{S}}_2} = {S_{CPQ}} = \frac{2}{3}.\frac{2}{3}S = \frac{4}{9}S$

Do đó ${V_{MNC'.QPC}} = \frac{h}{3}\left( {{S_1} + \sqrt {{S_1}{S_2}} + {S_2}} \right) = \frac{{37}}{{108}}S.h = \frac{{37}}{{108}}V$.