Cho hình lăng trụ ABC.A'B'C' có thể tích bằng V. Gọi M,N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB,A'C'.P là điểm trên các cạnh

50/50

Cho hình lăng trụ $ABC.A'B'C'$ có thể tích bằng $V.$ Gọi $M,N$ lần lượt là trung điểm của các cạnh $AB,A'C'.P$ là điểm trên các cạnh $BB'$ sao cho $PB = 2PB'.$ Thể tích khối tứ diện $CMNP$ bằng:

$\frac{1}{3}V.$

$\frac{7}{{12}}V.$

$\frac{5}{{12}}V.$

$\frac{2}{9}V.$

Giải thích

$Cho hình lăng trụ $ABC.A'B'C'$ có thể tích bằng $V.$ Gọi $M,N$ lần lượt là trung điểm của các cạnh $AB,A'C'.P$ là điểm trên các cạnh $BB'$ sao cho $PB = 2PB'.$ Thể tích khối tứ di (ảnh 1)$

Gọi $I$ là giao điểm của $AA'$ và $CN;J$ là giao điểm của $A'B'$ và $IB$ suy ra $I$ đối xứng với $A$ qua $A'$ và $J$ là trung điểm của $IB.$

Gọi $K$ là giao điểm của $AA'$ và $PM$ suy ra $AK = BP$

$\Delta OBP \sim \Delta OIK \Rightarrow \frac{{OB}}{{OI}} = \frac{{BP}}{{IK}} = \frac{{\frac{2}{3}AA'}}{{\frac{8}{3}AA'}} = \frac{1}{4} \Rightarrow OI = 4OB \Rightarrow d\left( {I,\left( {MPC} \right)} \right) = 4d\left( {B;\left( {MPC} \right)} \right)$

${V_{CMNP}} = \frac{1}{3}d\left( {N,\left( {MPC} \right)} \right).{S_{\Delta MPC}} = \frac{1}{3}.\frac{1}{2}d\left( {I,\left( {MPC} \right)} \right).{S_{\Delta MPC}} = \frac{1}{3}.\frac{1}{2}.4d\left( {B,\left( {MPC} \right)} \right).{S_{\Delta MPC}} = 2{V_{PMBC}}$

${V_{PMBC}} = \frac{1}{3}d\left( {P,\left( {MBC} \right)} \right).{S_{MBC}} = \frac{1}{3}.\frac{2}{3}d\left( {B',\left( {MBC} \right)} \right).\frac{1}{2}{S_{\Delta ABC}} = \frac{V}{9}$

$ \Rightarrow {V_{CMNP}} = \frac{2}{9}V$

Đáp án D