Cho hình lăng trụ ABC.A'B'C' có tất cả các cạnh bằng a , ˆ A ′ AB = 120 ∘ , ˆ A ′AC = 60 ∘ . Gọi M là trung điểm của BC , N là điểm trên cạnh BB ′ sao cho BN = 2/3 BB ′ .

39/50

Cho hình lăng trụ $ABC.A'B'C'$ có tất cả các cạnh bằng $a$, $\widehat {A'AB} = 120^\circ $, $\widehat {A'AC} = 60^\circ $. Gọi $M$ là trung điểm của $BC$, $N$ là điểm trên cạnh $BB'$ sao cho $BN = \frac{2}{3}BB'$. Tính $\overrightarrow {A'M} \cdot \overrightarrow {C'N} .$

$\frac{{4{a^2}}}{3}$.

$\frac{{{a^2}}}{3}$.

$4{a^2}$.

$2{a^2}$.

Giải thích

$Cỡ mẫu là $n = 50$. (ảnh 1)$

Ta có $\overrightarrow {A'M} = \overrightarrow {AM} - \overrightarrow {AA'} = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} } \right) - \overrightarrow {AA'} $.

Có $\overrightarrow {C'N} = \overrightarrow {C'B'} + \overrightarrow {B'N} = \overrightarrow {CB} + \frac{1}{3}\overrightarrow {B'B} $$ = \overrightarrow {AB} - \overrightarrow {AC} - \frac{1}{3}\overrightarrow {AA'} $.

Suy ra $\overrightarrow {A'M} \cdot \overrightarrow {C'N} = \left( {\frac{1}{2}\overrightarrow {AB} + \frac{1}{2}\overrightarrow {AC} - \overrightarrow {AA'} } \right)\left( {\overrightarrow {AB} - \overrightarrow {AC} - \frac{1}{3}\overrightarrow {AA'} } \right)$

$ = \frac{1}{2}{\overrightarrow {AB} ^2} - \frac{1}{2}\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {AC} - \frac{1}{6}\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {AA'} + \frac{1}{2}\overrightarrow {AC} \cdot \overrightarrow {AB} - \frac{1}{2}{\overrightarrow {AC} ^2} - \frac{1}{6}\overrightarrow {AC} \cdot \overrightarrow {AA'} - \overrightarrow {AA'} \cdot \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AA'} \cdot \overrightarrow {AC} + \frac{1}{3}{\overrightarrow {AA'} ^2}$

\[ = \frac{{{a^2}}}{2} - \frac{7}{6}\left| {\overrightarrow {AB} } \right| \cdot \left| {\overrightarrow {AA'} } \right| \cdot \cos 120^\circ - \frac{{{a^2}}}{2} + \frac{5}{6}\left| {\overrightarrow {AC} } \right| \cdot \left| {\overrightarrow {AA'} } \right| \cdot \cos 60^\circ + \frac{{{a^2}}}{3}\]

\[ = \frac{{{a^2}}}{2} + \frac{{7{a^2}}}{{12}} - \frac{{{a^2}}}{2} + \frac{{5{a^2}}}{{12}} + \frac{{{a^2}}}{3} = \frac{{4{a^2}}}{3}\]. Chọn A.