Cho hình lăng trụ ABC.A'B'C' có đáy là tam giác

Đáp án B

Phương pháp giải:

- Kẻ B'H⊥BCH∈BC. Chứng minh B'H⊥ABC.

- Đặt B'H=xx>0, tính BH theo x.

- Gọi M là trung điểm của AB, trong (ABC) kẻ HK//CMK∈AB, tính  theo x, từ đó tính SABB'A' theo x.

- Tính VABC.A'B'C'=32VC.ABB'A'=32B'K.SABB'A'.dC;ABB'A'=B'H.SΔABC. Giải phương trình tìm x, từ đó tính VABC.A'B'C'.

Giải chi tiết:

Kẻ B'H⊥BCH∈BC.

Ta có: BCC'B'⊥ABC=BCB'H⊂BCC'B';B'H⊥BC⇒B'H⊥ABC.

Đặt B'H=xx>0⇒BH=a2−x2 (Định lí Pytago trong tam giác vuông BB'H).

Gọi M là trung điểm của AB ta có CM⊥AB và CM=a32 (do ΔABC đều ạnh a ).

Trong (ABC) kẻ HK//CMK∈AB, áp dụng định lí Ta-lét ta có:

 HKCM=BHBC⇒HKa32=a2−x2a ⇒HK=3a2−x22.

Áp dụng định lí Pytago trong tam giác vuông  ta có:

Ta có: B'K2=B'H2+HK2=x2+34a2−x2=34a2+14x2⇒B'K=3a2+x22.

Khi đó ta có: AB⊥B'HAB⊥HKHK//CM⇒AB⊥B'HK⇒AB⊥B'K

Ta có: SABB'A'=B'K.AB=a3a2+x22.

CC'//BB'⇒CC'//ABB'A'⇒dCC';ABB'A'=dC;ABB'A'=a125

⇒VC.ABB'A'=13SABB'A'.dC;ABB'A'

=13.a3a2+x22.a125

=a2123a2+x230=23VABC.A'B'C'

⇒VABC.A'B'C'=32.a2123a2+x230=a2123a2+x220

Lại có VABC.A'B'C'=B'H.SΔABC=x.a234

⇒a2123a2+x220=x.a234

⇔23a2+x25=x⇔43a2+x2=25x2

⇔21x2=12a2⇔x=277a

Vậy VABC.A'B'C'=x.a234=277.a234=21a314.