Cho hình lăng trụ \[ABC.A'B'C'\] có đáy ABC là tam giác đều cạnh a

22/50

Cho hình lăng trụ \[ABC.A'B'C'\] có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, \[AA' = \frac{{3a}}{2}\]. Biết rằng hình chiếu vuông góc của \[A'\] lên \[\left( {ABC} \right)\] là trung điểm BC. Tính thể tích V của khối lăng trụ đó.

$Cho hình lăng trụ \[ABC.A'B'C'\] có đáy ABC là tam giác đều cạnh a (ảnh 1)$

\[V = \frac{{2{a^3}}}{3}\]

\[V = \frac{{3{a^3}}}{{4\sqrt 2 }}\]

\[V = {a^3}\sqrt {\frac{3}{2}} \]

\[V = {a^3}\]

Giải thích

Đáp án B

Ta có: $AH = \frac{{AB\sqrt 3 }}{2} = \frac{{a\sqrt 3 }}{2} \Rightarrow A'H = \sqrt {A'{A^2} - A{H^2}} = \sqrt {{{\left( {\frac{{3a}}{2}} \right)}^2} - {{\left( {\frac{{a\sqrt 3 }}{2}} \right)}^2}} = \frac{{a\sqrt 6 }}{2}$

$ \Rightarrow V = A'H.{S_{ABC}} = \frac{{a\sqrt 6 }}{2}.\frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4} = \frac{{3{a^3}\sqrt 2 }}{8}$.