Cho hình lăng trụ ABC.A'B'C' có đáy ABC là tam giác đều cạnh 5, hình chiếu A' lên mặt phẳng (ABC) trùng với trung điểm của BC và góc nhị diện [C', BC, A] bằng 120°. Tính khoảng cách từ A đến

20/22

Cho hình lăng trụ \[ABC.A'B'C'\] có đáy \[ABC\] là tam giác đều cạnh $5$, hình chiếu $A'$ lên mặt phẳng $\left( {ABC} \right)$ trùng với trung điểm của \[BC\] và góc nhị diện $\left[ {C',BC,A} \right]$ bằng $120^\circ $. Tính khoảng cách từ $A$ đến mặt phẳng $\left( {BCC'B'} \right)$ (làm tròn đến hàng phần mười).

Nhập câu trả lời ở đây

Giải thích

Đáp án: 3,8

$Vậy \[d\left( {A,\left( {BCC'B'} \right)} \right) \approx 3,8\]. (ảnh 1)$

Theo giả thiết ta có: $A'H \bot \left( {ABC} \right)$

Góc nhị diện $\left[ {C',BC,A} \right]$ là $\widehat {AHH'} = 120^\circ $.

Xét trong $\left( {AHH'A'} \right)$ vẽ $A'K \bot HH'$ nên

\[\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{A'K \bot HH'}\\{A'K \bot BC}\end{array}} \right. \Rightarrow A'K \bot \left( {BCC'B'} \right) \Rightarrow d\left( {A',\left( {BCC'B'} \right)} \right) = A'K\]

Do $AA'//\left( {BCC'B'} \right)$$ \Rightarrow d\left( {A,(BCC'B')} \right) = d\left( {A',(BCC'B')} \right) = A'K$

$\hat{A H H^{'}} = \hat{A H A^{'}} + \hat{A^{'} H H^{'}} = 90 ° + \hat{A^{'} H H^{'}} = 120^{°} \Rightarrow \hat{A^{'} H H^{'}} = 30 °$

Tam giác $A'HH'$ vuông tại $A'$ có $A'H' = \frac{{5\sqrt 3 }}{2}$

Có \[\widehat {A'HH'} = 30^\circ \]nên \[\widehat {A'H'H} = 60^\circ \]

Tam giác $A'H'K$ vuông tại $A'$ có \[\widehat {A'H'K} = 60^\circ \] nên

\[\sin \widehat {A'H'K} = \frac{{A'K}}{{A'H'}} = \sin 60^\circ = \frac{{\sqrt 3 }}{2} \Rightarrow A'K = A'H'.\frac{{\sqrt 3 }}{2} = \frac{{5\sqrt 3 }}{2}.\frac{{\sqrt 3 }}{2} = \frac{{15}}{4} \approx 3,8\].

Vậy \[d\left( {A,\left( {BCC'B'} \right)} \right) \approx 3,8\].