Cho hình lăng trụ ABC/A'B'C'. Gọi M, N, P lần lượt là các điểm thuộc các

44/50

Cho hình lăng trụ \[ABC.A'B'C'\]. Gọi M, N, P lần lượt là các điểm thuộc các cạnh \[AA'\], \[BB'\], \[CC'\] sao cho \[AM = 2MA'\], \[NB' = 2NB\], \[PC = PC'\]. Gọi \[{V_1}\], \[{V_2}\] lần lượt là thể tích của hai khối đa diện \[ABCMNP\] và \[A'B'C'MNP\]. Tính tỉ số \[\frac{{{V_1}}}{{{V_2}}}\].

\[\frac{{{V_1}}}{{{V_2}}} = 2\]

\[\frac{{{V_1}}}{{{V_2}}} = \frac{1}{2}\]

\[\frac{{{V_1}}}{{{V_2}}} = 1\]

\[\frac{{{V_1}}}{{{V_2}}} = \frac{2}{3}\]

Giải thích

Chọn đáp án C

Gọi Vlà thể tích khối lăng trụ \(ABC.A'B'C'\)

Cho hình lăng trụ ABC/A'B'C'. Gọi M, N, P lần lượt là các điểm thuộc các (ảnh 1)

Ta có \({V_1} = {V_{M.ABC}} + {V_{M.BCPN}}\).

\({V_{M.ABC}} = \frac{1}{3}d\left( {M;\left( {ABC} \right)} \right).{S_{ABC}} = \frac{1}{3}.\frac{2}{3}d\left( {A';\left( {ABC} \right)} \right).{S_{ABC}} = \frac{2}{9}V\).

\(\frac{{{V_{M.BCPN}}}}{{{V_{M.BCC'B'}}}} = \frac{{{S_{BCPN}}}}{{{S_{BCC'B'}}}} = \frac{{\frac{1}{2}d\left( {C;BB'} \right).\left( {BN + CP} \right)}}{{\frac{1}{2}d\left( {C;BB'} \right).\left( {BB' + CC'} \right)}} = \frac{{BN + CP}}{{BB' + CC'}} = \frac{{\frac{1}{3}BB' + \frac{1}{2}CC'}}{{BB' + CC'}}\)

\( \Rightarrow {V_{M.BCPN}} \Rightarrow \frac{5}{{12}}{V_{M.BCC'B'}} = \frac{5}{{12}}{V_{A.BCC'B'}} = \frac{5}{{12}}.2{V_{ABC'B'}} = \frac{5}{{12}}.2.\frac{1}{3}V = \frac{5}{{18}}V\)

\( \Rightarrow {V_1} = {V_{M.ABC}} + {V_{M.BCPN}} = \frac{2}{9}V + \frac{5}{{18}}V = \frac{1}{2}V \Rightarrow {V_2} = V - \frac{1}{2}V = \frac{1}{2}V \Rightarrow \frac{{{V_1}}}{{{V_2}}} = 1\).