Cho hình lăng trụ ABC.A′B′C′ có độ dài tất cả các cạnh bằng a và hình chiếu vuông góc của đỉnh C trên (ABB′A′) là tâm của hình bình hành ABB′A′. Thể tích của khối lăng trụ là:

Gọi O là tâm hình bình hành \[ABB'A'\] Ta có\[CO \bot \left( {ABB'A'} \right) \Rightarrow CO \bot OA;CO \bot OB\]

\[{\rm{\Delta }}COA = {\rm{\Delta }}COB\left( {c.g.c} \right) \Rightarrow OA = OB \Rightarrow AB' = A'B \Rightarrow ABB'A'\] là hình chữ nhật.

Lại có\[AB = BB' = a \Rightarrow ABB'A'\] là hình vuông

Khi đó \[OA = OB = \frac{{AB}}{{\sqrt 2 }} = \frac{a}{{\sqrt 2 }}\]

Xét tam giác vuông OAC có:\[OC = \sqrt {A{C^2} - O{A^2}} = \sqrt {{a^2} - \frac{{{a^2}}}{2}} = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}\]

\[ \Rightarrow {V_{C.A'AB}} = \frac{1}{3}OC.{S_{A'AB}} = \frac{1}{3}.\frac{{a\sqrt 2 }}{2}.\frac{{{a^2}}}{2} = \frac{{{a^3}\sqrt 2 }}{{12}}\]

Mà 

\[{V_{ABC.A'B'C'}} = {S_{ABC}}.d\left( {A',\left( {ABC} \right)} \right) = 3.\frac{1}{3}{S_{ABC}}.d\left( {A',\left( {ABC} \right)} \right) = 3.{V_{A'.ABC}}\]

Vậy\[{V_{ABC.A'B'C'}} = 3{V_{C.A'AB}} = \frac{{{a^3}\sqrt 2 }}{4}\]Đáp án cần chọn là: C