Cho hình lăng trụ ABC. A'B'C' có đáy là tam giác đều cạnh a. Hình chiếu vuông

64/101

Cho hình lăng trụ ABC. A'B'C' có đáy là tam giác đều cạnh a. Hình chiếu vuông góc của điểm A' lên mặt phẳng (ABC) trùng với trọng tâm tam giác ABC. Biết khoảng cách giữa hai đường thẳng AA' và BC bằng \[a\sqrt {34} \]. Tính theo a thể tích V của khối lăng trụ ABC. A'B'C'.

\(\frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{6}.\)

\(\frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{{12}}.\)

\(\frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{3}.\)

\(\frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{{24}}.\)

Giải thích

Đáp án đúng là: B

Cho hình lăng trụ ABC. A'B'C' có đáy là tam giác đều cạnh a. Hình chiếu vuông (ảnh 1)

Gọi G là trọng tâm tam giác ABC và M là trung điểm của BC.

Ta có A'G ⊥ (ABC) nên A'G ⊥ BC; BC ⊥ AM ⇒ BC ⊥ (MAA')

Kẻ MI ⊥ AA'; BC ⊥ IM nên \[d\left( {{\rm{AA';BC}}} \right) = IM = \frac{{a\sqrt 3 }}{4}.\]

Kẻ GH ⊥ AA', ta có:

\(\frac{{AG}}{{AM}} = \frac{{GH}}{{IM}} = \frac{2}{3} \Leftrightarrow GH = \frac{2}{3} \cdot \frac{{a\sqrt 3 }}{4} = \frac{{a\sqrt 3 }}{6}\)

\(\frac{1}{{H{G^2}}} = \frac{1}{{A'{G^2}}} + \frac{1}{{A{G^2}}} \Leftrightarrow A'G = \frac{{AG \cdot HG}}{{\sqrt {A{G^2} - H{G^2}} }} = \frac{{\frac{{a\sqrt 3 }}{3} \cdot \frac{{a\sqrt 3 }}{6}}}{{\sqrt {\frac{{{a^2}}}{3} - \frac{{{a^2}}}{{12}}} }} = \frac{a}{3}\)

VABC⋅A'B'C'=A'G⋅SABC=a3⋅a234=a2312 (đvtt).