Cho hình hộp đứng ABCD.A'B'C'D' có đáy là hình thoi, tam giác ABD đều. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của BC và C'D', biết rằng MN vuông góc B'D

Chọn A

* Chọn \(AB = 2 \Rightarrow BD = 2;AC = 2\sqrt 3 \), đặt

\(AA' = h\), chọn hệ trục tọa độ \(Oxyz\) như hình vẽ ta có: \(D\left( {1;0;0} \right)\), \(B\left( { - 1;0;0} \right)\), \(C\left( {0;\sqrt 3 ;0} \right)\), \(D'\left( {1;0;h} \right)\), \(C'\left( {0;\sqrt 3 ;h} \right)\), \(B'\left( { - 1;0;h} \right)\).

\( \Rightarrow M\left( { - \frac{1}{2};\frac{{\sqrt 3 }}{2};0} \right),N\left( {\frac{1}{2};\frac{{\sqrt 3 }}{2};h} \right)\), \(\overrightarrow {MN}  = \left( {1;0;h} \right)\), \(\overrightarrow {B'D}  = \left( {2;0; - h} \right)\).

* Do \(MN \bot B'D \Rightarrow \overrightarrow {MN} .\overrightarrow {B'D}  = 0 \Leftrightarrow 2 - {h^2} = 0 \Rightarrow h = \sqrt 2 \)\( \Rightarrow \overrightarrow {MN}  = \left( {1;0;\sqrt 2 } \right)\). Ta có:

\(MN{\rm{//}}\overrightarrow u  = \overrightarrow {MN}  = \left( {1;0;\sqrt 2 } \right)\), \(\left( {ABCD} \right) \bot \overrightarrow n  = \overrightarrow j  = \left( {0;0;1} \right)\).

* Do \(\alpha \) là góc tạo bởi đường thẳng \(MN\) và mặt đáy \(\left( {ABCD} \right)\) nên ta có:

\(\sin \alpha  = \left| {\cos \left( {\overrightarrow u ;\overrightarrow n } \right)} \right| = \frac{{\left| {\overrightarrow u .\overrightarrow n } \right|}}{{\left| {\overrightarrow u } \right|.\left| {\overrightarrow n } \right|}} = \frac{{\sqrt 2 }}{{\sqrt 3 }} \Rightarrow \cos \alpha  = \sqrt {1 - {{\sin }^2}\alpha }  = \frac{1}{{\sqrt 3 }}\).