Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A1B1C1D1 có ABCD là hình vuông. Gọi O là giao điểm của AC và BD, O1 là giao điểm của A1C1 và B1D1. Chứng minh rằng: a) BDD1B1 là hình chữ nhật. b) OO1 ⊥ ( ABCD )

a) Từ giả thiết ABCD.A₁B₁C₁D₁ là hình hộp chữ nhật nên các mặt bên ( BB₁A₁A ),( BB₁C₁C ) là hình chữ nhật, do đó ta có:

⇒ BB₁ ⊥ mp( ABCD )

Mặt khác đường chéo BD ⊂ mp( ABCD ) và đi qua B nên:

BB₁ ⊥ BD ⇒ Bˆ₁BD = 90⁰

Chứng minh tương tự như trên, ta cũng được: BB₁D₁ˆ = BDD₁ˆ = 90⁰

Điều đó chứng tỏ tứ giác BDD₁B₁ có ba góc vuông nên là hình chữ nhật.

b) Chứng minh tương tự như câu a, ta có tứ giác ACC₁A₁ là hình chữ nhật

Áp dụng tính chất đường chéo và các hình vuông ABCD, A₁B₁C₁D₁ ta được O là trung điểm của AC và BD và O₁ là trung điểm của A₁C₁ và B₁D₁

⇒ OO₁ là đường trung bình của các hình chữ nhật BDD₁B₁ và ACC₁A₁

Do đó: OO₁//BB₁//DD₁//AA₁//CC₁

Suy ra