Cho hình hộp chữ nhật A B C D . E F G H có A B = A E = 2 , A D = 3 và đặt → a = −−→ A B , → b = −−→ A D , → c = −−→ A E . Lấy điểm M thỏa −−→ A M = 1/ 5 −−→ A D và điểm N thỏa −−
15/22
Cho hình hộp chữ nhật \[ABCD.EFGH\] có \[AB = AE = 2\], \[AD = 3\] và đặt \[\overrightarrow a = \overrightarrow {AB} ,\,\overrightarrow b = \overrightarrow {AD} ,\,\overrightarrow c = \overrightarrow {AE} \]. Lấy điểm \[M\] thỏa \[\overrightarrow {AM} = \frac{1}{5}\overrightarrow {AD} \] và điểm \[N\] thỏa \[\overrightarrow {EN} = \frac{2}{5}\overrightarrow {EC} \]. (tham khảo hình vẽ)
![Khi đó ta có a) \[\overrightarrow {MA} = - \frac{1}{5}\overrightarrow b \]. (ảnh 1)](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2025/09/13-1759240659.png)
Khi đó ta có
a) \[\overrightarrow {MA} = - \frac{1}{5}\overrightarrow b \].
b) \[\overrightarrow {EN} = \frac{2}{5}\left( {\overrightarrow a - \overrightarrow b + \overrightarrow c } \right)\].
c) \[{\left( {m.\overrightarrow a + n.\overrightarrow b + n.\overrightarrow c } \right)^2} = {m^2}.{\overrightarrow a ^2} + {n^2}.{\overrightarrow b ^2} + {p^2}.{\overrightarrow c ^2}\] với \[m,\,n,\,p\] là các số thực.
d) \[MN = \frac{{\sqrt {61} }}{5}\].
A | B | C | D |
Đúng | Sai | Đúng | Đúng |
Ta có \[\overrightarrow {MA} = - \overrightarrow {AM} = - \frac{1}{5}\overrightarrow {AD} = - \frac{1}{5}\overrightarrow b \].
\[\overrightarrow {EN} = \frac{2}{5}\overrightarrow {EC} = \frac{2}{5}\left( {\overrightarrow {EF} + \overrightarrow {EH} + \overrightarrow {EA} } \right) = \frac{2}{5}\left( {\overrightarrow a + \overrightarrow b - \overrightarrow c } \right)\].
\[{\left( {m.\overrightarrow a + n.\overrightarrow b + p.\overrightarrow c } \right)^2} = {m^2}.{\overrightarrow a ^2} + {n^2}.{\overrightarrow b ^2} + {p^2}.{\overrightarrow c ^2} + 2mn.\overrightarrow a .\overrightarrow b + 2np.\overrightarrow b .\overrightarrow c + 2mp.\overrightarrow a .\overrightarrow c \]
\[ = {m^2}.{\overrightarrow a ^2} + {n^2}.{\overrightarrow b ^2} + {p^2}.{\overrightarrow c ^2}\]. (vì \[\overrightarrow a ,\,\overrightarrow b ,\,\overrightarrow c \] đôi một vuông góc nên \[\overrightarrow a .\overrightarrow b = \overrightarrow b .\overrightarrow c = \overrightarrow a .\overrightarrow c = 0\]).
Ta có \[\overrightarrow {MN} = \overrightarrow {MA} + \overrightarrow {AE} + \overrightarrow {EN} = - \frac{1}{5}\overrightarrow b + \overrightarrow c + \frac{2}{5}\left( {\overrightarrow a + \overrightarrow b - \overrightarrow c } \right) = \frac{2}{5}\overrightarrow a + \frac{1}{5}\overrightarrow b + \frac{3}{5}\overrightarrow c \].
\[M{N^2} = {\overrightarrow {MN} ^2} = {\left( {\frac{2}{5}\overrightarrow a + \frac{1}{5}\overrightarrow b + \frac{3}{5}\overrightarrow c } \right)^2} = \frac{4}{{25}}{\overrightarrow a ^2} + \frac{1}{{25}}{\overrightarrow b ^2} + \frac{9}{{25}}{\overrightarrow c ^2} = \frac{4}{{25}}.4 + \frac{1}{{25}}.9 + \frac{9}{{25}}.4 = \frac{{61}}{{25}}\].
Suy ra \[MN = \frac{{\sqrt {61} }}{5}\].