Cho hình hộp ABCD.EFGH. Điểm M là trọng tâm của tam giác AFH (Hình 2.16).
6/6
Cho hình hộp ABCD.EFGH. Điểm M là trọng tâm của tam giác AFH (Hình 2.16).
a) Tìm \[\overrightarrow u = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {CB} + \overrightarrow {GH} + \overrightarrow {EH} \]
b) Tìm \[\overrightarrow v = \overrightarrow {FA} - \overrightarrow {BD} \]
c) Chứng minh rằng ba điểm E, M, C thẳng hàng.
d) Tính độ dài của \[\overrightarrow {EM} \] trong trường hợp ABCD.EFGH là hình hộp đứng có các cạnh AB = 5, AD = 6, AE = 10 và \[\widehat {ABC}\] = 120°.
c) Để chứng minh E, M, C thẳng hàng, ta sẽ chứng minh \[\overrightarrow {EC} = k\overrightarrow {EM} \] với k là một số thực nào đó. Do M là trọng tâm của tam giác AFH nên ta có: \[\overrightarrow {EA} + \overrightarrow {EF} + \overrightarrow {EH} = 3\overrightarrow {EM} \]Mặt khác, theo quy tắc hình hộp thì: \[\overrightarrow {EA} + \overrightarrow {EF} + \overrightarrow {EH} = \overrightarrow {EC} \] Suy ra \[\overrightarrow {EC} = 3\overrightarrow {EM} \]. Vậy ba điểm E, M, C thẳng hàng. d) Áp dụng định lí côsin trong tam giác ABC, ta có: AC2 = 52 + 62 − 2.5.6.cos 120° = 91.
Khi ABCD.EFGH là hình hộp đứng thì EAC là tam giác vuông tại A, do đó:
EC2 = EA2 + AC2 = 100 + 91 = 191. Suy ra EM = \[EM = \frac{1}{3}\sqrt {191} \].