Cho hình hộp A B C D ⋅ A ′ B ′ C ′ D ′ . Một mặt phẳng song song với mặt bên ( A B B ′ A ′ ) của hình hộp và cắt các cạnh A D , B C , A ′ D ′ , B ′ C ′ lần lượt tại M , N , M ′ , N ′ (
21/22
Cho hình hộp \(ABCD \cdot {A^\prime }{B^\prime }{C^\prime }{D^\prime }\). Một mặt phẳng song song với mặt bên \(\left( {AB{B^\prime }{A^\prime }} \right)\) của hình hộp và cắt các cạnh \(AD,BC,{A^\prime }{D^\prime },{B^\prime }{C^\prime }\) lần lượt tại \(M,N,{M^\prime },{N^\prime }(H.4.54)\).
Chứng minh rằng \(ABNM.{A^\prime }{B^\prime }{N^\prime }{M^\prime }\) là hình hộp.
Lời giải
Vì là hình hộp nên các cạnh bên đôi một song song với nhau và \((ABCD)\) //
Vì \(M\) thuộc \(AD\) và \(N\) thuộc \(BC\) nên \(MN\) nằm trong mặt phẳng \(ABCD\), tương tự nằm trong mặt phẳng (. Do đó, \((1)\).
Ta có: và mặt phẳng \((ABCD)\) cắt và () lần lượt theo các giao tuyến \(AB\) và \(MN\), do đó \(AB//MN\).
Tương tự, ta chứng minh được: ; .
Mà do đó bốn đường thẳng , , đôi một song song với nhau \((2)\)
Từ \((1)\) và \((2)\) suy ra là hình lăng trụ.
Tứ giác \(ABNM\) có \(AB//MN\) và \(AM//BN\) (do \(AD//BC\)) nên \(ABNM\) là hình bình hành.
Tứ giác \({A^\prime }{B^\prime }{N^\prime }{M^\prime }\) có \({A^\prime }{B^\prime }//{M^\prime }{N^\prime }\) và \({A^\prime }{M^\prime }\) // \({B^\prime }{N^\prime }\) (do \({A^\prime }{D^\prime }//{B^\prime }{C^\prime }\)) nên \({A^\prime }{B^\prime }{N^\prime }{M^\prime }\) là hình bình hành.
Hình lăng trụ có đáy là hình bình hành nên nó là hình hộp.