Cho hình hộp A B C D . A ′ B ′ C ′ D ′ . Gọi M , N lần lượt là các điểm trên đoạn A C và C ′ D sao cho, D N = 1/ 3 D C ′ , A M = 2 3 A C . Khi phân tích −−→ B N = x . −−→ B A + y .

Ta có:  \(DN = \frac{1}{3}DC' \Leftrightarrow NC' = 2ND \Rightarrow \overrightarrow {NC'}  =  - 2\overrightarrow {ND} \).

Suy ra điểm N chia đoạn thẳng \[{\rm{D}}C'\] theo tỉ số \(k =  - 2\). Do đó \(\overrightarrow {BN}  = \frac{{\overrightarrow {BC'}  + 2\overrightarrow {BD} }}{3}\)

hay \(\overrightarrow {BN}  = \frac{1}{3}\overrightarrow {BC'}  + \frac{2}{3}\overrightarrow {BD}  \Leftrightarrow \overrightarrow {BN}  = \frac{1}{3}\left( {\overrightarrow {BB'}  + \overrightarrow {BC} } \right) + \frac{2}{3}\left( {\overrightarrow {BA}  + \overrightarrow {BC} } \right) \Leftrightarrow \overrightarrow {BN}  = \frac{2}{3}\overrightarrow {BA}  + \overrightarrow {BC}  + \frac{1}{3}\overrightarrow {BB'} \).

Vậy \(x + y + z = 2\).