Cho hình hộp A B C D ⋅ A ′ B ′ C ′ D ′ có các cạnh A A ′ , B B ′ , C C ′ , D D ′ song song với nhau. Khi đó: a) ( B D A ′ ) / / ( B ′ D ′ C ′ ) .

16/22

Cho hình hộp $ABCD \cdot {A^\prime }{B^\prime }{C^\prime }{D^\prime }$ có các cạnh $A{A^\prime },B{B^\prime },C{C^\prime },D{D^\prime }$ song song với nhau. Khi đó:

a) $\left( {BD{A^\prime }} \right)//\left( {{B^\prime }{D^\prime }{C^\prime }} \right)$.

b) Đường chéo $A{C^\prime }$ đi qua trọng tâm ${G_1},{G_2}$ của tam giác $BD{A^\prime }$ và ${B^\prime }{D^\prime }C$.

c) $A{G_1} = 2{G_1}{G_2}$

d) Mặt phẳng $\left( {{A^\prime }{B^\prime }{G_2}} \right)$ cắt hình hộp $ABCD \cdot {A^\prime }{B^\prime }{C^\prime }{D^\prime }$ tạo thành một tứ giác là hình bình hành

Nhập câu trả lời ở đây

0/3000 ký tự

Giải thích

$Cho hình hộp \(ABCD \cdot {A^\prime }{B^\prime (ảnh 1)$

a) Đúng

b) Đúng

c) Sai

d) Đúng

a) Chứng minh: $\left( {BD{A^\prime }} \right)//\left( {{B^\prime }{D^\prime }C} \right)$.

Ta có $B{A^\prime }{D^\prime }C$ là hình bình hành nên $B{A^\prime }//{D^\prime }C$.

Ta có $B{B^\prime }{D^\prime }D$ là hình bình hành nên ${B^\prime }{D^\prime }//BD$.

Ta có $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{B{A^\prime }//{D^\prime }C}\\{BD//{B^\prime }{D^\prime }}\\{B{A^\prime },BD \subset \left( {B{A^\prime }D} \right);B{A^\prime } \cap BD = B}\\{{B^\prime }{D^\prime },{D^\prime }C \subset \left( {{B^\prime }{D^\prime }C} \right);{B^\prime }{D^\prime } \cap {D^\prime }C = {D^\prime }}\end{array}} \right.$

$ \Rightarrow \left( {BD{A^\prime }} \right)//\left( {{B^\prime }{D^\prime }C} \right)$.

b) Chứng minh đường chéo $A{C^\prime }$ qua trọng tâm ${G_1},{G_2}$ của tam giác $BD{A^\prime }$ và ${B^\prime }{D^\prime }C$.

Trong $(ABCD)$, gọi $O = AC \cap BD$.

$ \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{O \in AC;AC \subset \left( {AC{C^\prime }{A^\prime }} \right)}\\{O \in BD;BD \subset \left( {BD{A^\prime }} \right)}\end{array} \Rightarrow O \in \left( {AC{C^\prime }{A^\prime }} \right) \cap \left( {BD{A^\prime }} \right)} \right.$.

Mà ${A^\prime } \in \left( {AC{C^\prime }{A^\prime }} \right) \cap \left( {BD{A^\prime }} \right)$ nên ${A^\prime }O = \left( {AC{C^\prime }{A^\prime }} \right) \cap \left( {BD{A^\prime }} \right)$

Trong $\left( {AC{C^\prime }{A^\prime }} \right)$, gọi $E = {A^\prime }O \cap A{C^\prime }$.

Ta có $\frac{{{A^\prime }E}}{{EO}} = \frac{{{A^\prime }{C^\prime }}}{{AO}} = 2$ (Thales)

Suy ra $E$ trùng với trọng tâm ${G_1}$ của tam giác $BD{A^\prime }$.(1)

Trong $\left( {{A^\prime }{B^\prime }{C^\prime }{D^\prime }} \right)$, gọi ${O^\prime } = {A^\prime }{C^\prime } \cap {B^\prime }{D^\prime }$.

$ \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{O^\prime } \in {A^\prime }{C^\prime };{A^\prime }{C^\prime } \subset \left( {AC{C^\prime }{A^\prime }} \right)}\\{{O^\prime } \in {B^\prime }D;{B^\prime }{D^\prime } \subset \left( {{B^\prime }{D^\prime }C} \right)}\end{array} \Rightarrow {O^\prime } \in \left( {AC{C^\prime }{A^\prime }} \right) \cap \left( {{B^\prime }{D^\prime }C} \right)} \right.$.

Mà $C \in \left( {AC{C^\prime }{A^\prime }} \right) \cap \left( {{B^\prime }{D^\prime }C} \right)$ nên $CO = \left( {AC{C^\prime }{A^\prime }} \right) \cap \left( {{B^\prime }{D^\prime }C} \right)$.

Trong $\left( {AC{C^\prime }{A^\prime }} \right)$, gọi $F = CO \cap A{C^\prime }$.

Ta có $\frac{{CF}}{{F{O^\prime }}} = \frac{{AC}}{{{C^\prime }{O^\prime }}} = 2$ (Thales)

Suy ra $F$ trùng với trọng tâm ${G_2}$ của tam giác ${B^\prime }{D^\prime }C$. (2)

Từ (1) và (2) suy ra $A{C^\prime }$ qua trọng tâm ${G_1},{G_2}$ của tam giác $BD{A^\prime }$ 'và ${B^\prime }{D^\prime }C$.

c) Chứng minh ${G_1},{G_2}$ chia đoạn $A{C^\prime }$ thành ba phần bằng nhau.

Trong $\left( {A{A^\prime }{C^\prime }C} \right)$, gọi $I = {A^\prime }C \cap A{C^\prime }$.

$Cho hình hộp \(ABCD \cdot {A^\prime }{B^\prime (ảnh 2)$

Ta có ${G_1}$ là trọng tâm của tam giác ${A^\prime }AC$ nên $A{G_1} = \frac{2}{3}AI = \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{2}A{C^\prime } = \frac{1}{3}A{C^\prime }$.

Ta có ${G_2}$ là trọng tâm của tam giác ${A^\prime }C{C^\prime }$ nên $A{G_2} = \frac{2}{3}{C^\prime }I = \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{2}A{C^\prime } = \frac{1}{3}A{C^\prime }$.

Ta có ${G_1}{G_2} = A{C^\prime } - A{G_1} - {C^\prime }{G_2} = A{C^\prime } - \frac{1}{3}A{C^\prime } - \frac{1}{3}A{C^\prime } = \frac{1}{3}A{C^\prime }$.

Từ đó ta có $A{G_1} = {G_1}{G_2} = {G_2}{C^\prime }\left( { = \frac{1}{3}A{C^\prime }} \right)$.

Suy ra ${G_1},{G_2}$ chia đoạn $A{C^\prime }$ ' thành ba phần bằng nhau.

d) Xác định thiết diện cắt bởi mặt phẳng $\left( {{A^\prime }{B^\prime }{G_2}} \right)$. Thiết diện là hình gì?

Xét tam giác ${B^\prime }{D^\prime }C$, gọi $P = {B^\prime }{G_2} \cap C{D^\prime }$.

Suy ra $P$ là trung điểm của $C{D^\prime }$.

Trong $\left( {{A^\prime }{B^\prime }{G_2}} \right)$, vẽ $Px//{A^\prime }{B^\prime }$.

Trong $\left( {C{C^\prime }{D^\prime }D} \right),Px$ cắt $C{C^\prime },D{D^\prime }$ lần lượt tại $M$ và $N$.

Suy ra $MN//CD$ và $MN = CD$.

Ta có $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\left( {{A^\prime }{B^\prime }{G_2}} \right) \cap \left( {{A^\prime }{B^\prime }{C^\prime }{D^\prime }} \right) = {A^\prime }{B^\prime }}\\{\left( {{A^\prime }{B^\prime }{G_2}} \right) \cap \left( {{B^\prime }{C^\prime }CB} \right) = {B^\prime }M}\\{\left( {{A^\prime }{B^\prime }{G_2}} \right) \cap \left( {C{C^\prime }{D^\prime }D} \right) = MN}\\{\left( {{A^\prime }{B^\prime }{G_2}} \right) \cap \left( {A{A^\prime }{D^\prime }D} \right) = N{A^\prime }}\end{array}} \right.$

$ \Rightarrow $ thiết diện của $\left( {{A^\prime }{B^\prime }{G_2}} \right)$ và hình hộp $ABCD \cdot {A^\prime }{B^\prime }{C^\prime }{D^\prime }$ là tứ giác ${A^\prime }{B^\prime }MN$.

Ta có $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{MN//{A^\prime }{B^\prime }}\\{MN = {A^\prime }{B^\prime }( = CD)}\end{array} \Rightarrow } \right.$ thiết diện ${A^\prime }{B^\prime }MN$ là hình bình hành.