Cho hình chữ nhật có hai cạnh kề không bằng nhau. Chứng minh rằng các

Gọi giao điểm các đường phân giác của các góc: A, B, C, D theo thứ tự cắt nhau tại E, H, F, G.

* Trong ∆ADG , ta có:

∠(GAD) = 450; ∠(GDA) = 450 (gt)

Suy ra: ∠(AGD) = 1800 - ∠(GAD) - ∠(GDA) = 900

⇒ ∆GAD vuông cân tại G.

⇒ GD = GA

Trong ∆BHC, ta có:

∠(HBC) = 450; ∠(HCB) = 450 (gt)

Suy ra: ∠(BHC) = 1800 - ∠(HBC) - ∠(HCB) = 900

⇒ ∆HBC vuông cân tại H.

⇒ HB = HC

* Trong ΔFDC, ta có: ∠D1 = 450; ∠C1= 450 (gt)

Suy ra: ∠F = 1800 - D1 - C1 = 900

⇒ ∆FDC vuông cân tại F ⇒ FD = FC

Nên tứ giác EFGH là hình chữ nhật (vì có 3 góc vuông).

Xét ∆GAD và ∆HBC,ta có: ∠(GAD) = ∠(HBC) = 450

AD = BC (tính chất hình chữ nhật)

∠(GDA) = ∠(HCB) = 450

Suy ra: ∆GAD = ∆HBC ( g.c.g)

Do đó, GD = HC .

Lại có: FD = FC (chứng minh trên)

Suy ra: FG = FH

Vậy hình chữ nhật EFGH có hai cạnh kề bằng nhau nên nó là hình vuông.