Cho hình chữ nhật ABCD . Kẻ BK ⊥ AC , K ∈ AC . Gọi M , N lần lượt là trung điểm của AK và CD . Tìm số đo góc ˆ BMN .

Đặt \(\overrightarrow {BA}  = \vec a,\overrightarrow {BC}  = \vec b,\overrightarrow {BK}  = \vec c\) và \(BA = a,BC = b,BK = c\). Khi đó: \(\overrightarrow {BM}  = \frac{1}{2}(\vec a + \vec c),\overrightarrow {MN}  = \overrightarrow {MB}  + \overrightarrow {BC}  + \overrightarrow {CN}  =  - \frac{1}{2}(\vec a + \vec c) + \vec b + \frac{1}{2}\vec a = \vec b - \frac{1}{2}\vec c = \frac{1}{2}(2\vec b - \vec c)\).

Do đó: \(\overrightarrow {MN}  \cdot \overrightarrow {BM}  = \frac{1}{4}(2\vec b - \vec c)(\vec a + \vec c) = \frac{1}{4}\left( {2\vec a \cdot \vec b - \vec a \cdot \vec c + 2\vec b \cdot \vec c - {{\vec c}^2}} \right)\)

\( = \frac{1}{4}[2\vec a \cdot \vec b + (\vec b - \vec a)\vec c + (\vec b - \vec c)\vec c]{\rm{. }}\)

Ta thấy rằng: \(\vec a \cdot \vec b = 0\) do \(\vec a \bot \vec b;(\vec b - \vec a)\vec c = \overrightarrow {AC}  \cdot \vec c = 0\)

Do \(AC \bot BK;(\vec b - \vec c)\vec c = \overrightarrow {KC}  \cdot \vec c = 0\) do \(CK \bot BK\).

Vì vậy MN→⋅BM→=0⇒BMN^=90°