Cho hình chữ nhật ABCD có cạnh AB = 4; BC = 6, M là trung điểm của cạnh BC, N là điểm trên cạnh CD sao cho ND = 3NC. Tính bán kính của đường tròn ngoại tiếp tam giác AMN.
Giải thích
Ta có MC = 3, NC = 1 \( \Rightarrow MN = \sqrt {10} \).
Ta có BM = 3; AB = 4 \( \Rightarrow AM = 5\).
AD = 6; ND = 3 \( \Rightarrow AN = 3\sqrt 5 \).
Ta có \(p = \frac{{AM + AN + MN}}{2} = \frac{{\sqrt {10} + 5 + 3\sqrt 5 }}{2}\).
Khi đó \({S_{AMN}} = \sqrt {p\left( {p - AM} \right)\left( {p - AN} \right)\left( {p - MN} \right)} = \frac{{15}}{2}\).
Bán kính của đường tròn ngoại tiếp của tam giác AMN là \(R = \frac{{AM.AN.MN}}{{4{S_{AMN}}}} = \frac{{5\sqrt 2 }}{2}\).