Cho hình chữ nhật ABCD, có AB = 4 cm và góc ACB = 30°. Vẽ đường tròn (B) có tâm B và bán kính BA. Đường tròn (B) cắt đoạn BC tại E và cắt đoạn AC tại F. Lấy điểm K trên cung lớn AE của đường

15/22

Cho hình chữ nhật $ABCD,$ có $AB = 4$ cm và $\widehat {ACB} = 30^\circ $. Vẽ đường tròn $\left( B \right)$ có tâm $B$ và bán kính $BA.$ Đường tròn $\left( B \right)$ cắt đoạn $BC$ tại $E$ và cắt đoạn $AC$ tại $F.$ Lấy điểm $K$ trên cung lớn $AE$ của đường tròn $\left( B \right)$ như hình vẽ.

$Vậy \[{x_1} + {x_2} + {x_1}{x_2} = - 7 + 5 = - 2\], không bằng 2. (ảnh 1)$

Tứ giác $BEFA$ là tứ giác nội tiếp đường tròn $\left( B \right)$.

ĐúngSai

Số đo góc $AKE$ bằng 30°.

ĐúngSai

Bán kính đường tròn ngoại tiếp hình chữ nhật $ABCD$ bằng 4 cm.

ĐúngSai

Diện tích phần gạch chéo được giới hạn bởi cung nhỏ $AF$ của đường tròn $\left( B \right)$ và ba đoạn thẳng $AD,DC$ và $CF$ bằng $\frac{{36\sqrt 3 - 8\pi }}{3}$ cm².

ĐúngSai

Giải thích

a) Sai. Ta có: Điêm\[A;E;F \in \left( B \right)\]; đường tròn $\left( B \right)$ có tâm là \[B\] nên điểm \[B\] không nằm trên đường tròn đó.

Vì vậy tứ giác $BEFA$ không thể là tứ giác nội tiếp đường tròn $\left( B \right)$.

b) Sai. Vì $AB \bot BC$ và $E$ thuộc $BC$ nên $\widehat {ABE} = 90^\circ $.

Vì $\widehat {AKE}$ là góc nội tiếp chắn cung nhỏ $AE,$ $\widehat {ABE} = 90^\circ $ là góc ở tâm chắn cung nhỏ $AE$, do đó $\widehat {AKE} = \frac{1}{2}\widehat {ABE} = \frac{1}{2}.90^\circ = 45^\circ $.

c) Đúng. Trong tam giác vuông $ABC,$ có $AB = 4$ cm;$\sin \widehat {ABC} = \frac{{AB}}{{AC}} = \frac{1}{2}$, nên $AC = 8$ cm.

Bán kính đường tròn ngoại tiếp hình chữ nhật bằng nửa đường chéo, tức là bán kính bằng $\frac{{AC}}{2} = 4$ cm.

d) Đúng. Vì tam giác $ABC$ vuông tại $A$ có $\widehat {ACB} = 30^\circ $ nên $BC = \frac{{AB}}{{\tan 30^\circ }} = 4\sqrt 3 $ và $AC = 8$ cm.

Vì tứ giác $ABCD$ là hình chữ nhật nên $BC = AD = 4\sqrt 3 $ cm; $DC = AB = 4$ cm.

Ta có: ${S_{ADC}} = \frac{1}{2} \cdot AD \cdot AC = \frac{1}{2} \cdot 4\sqrt 3 \cdot 4 = 8\sqrt 3 $ (cm²).

Vì $BA = BF = 4$ cm nên bán kính đường tròn $\left( B \right)$là 4 cm.

Trong tam giác $ABC$ có $\widehat {BAC} = 90^\circ - 30^\circ = 60^\circ $. Suy ra $\widehat {BAF} = 60^\circ $

Tam giác $ABF$ có $BA = BF$ và $\widehat {BAF} = 60^\circ $nên tam giác $ABF$ là tam giác đều cạnh 4 cm.

Suy ra diện tích tam giác đều $ABF$ là: ${S_{ABF}} = \frac{1}{4}{4^2}\sqrt 3 = 4\sqrt 3 $ (cm²).

Diện tích quạt tròn $BAF$ là:${S_q} = \frac{{60^\circ }}{{360^\circ }}.\pi {4^2} = \frac{{8\pi }}{3}$ (cm²).

Suy ra diện tích hình viên phân:${S_{vp}} = \frac{{8\pi }}{3} - 4\sqrt 3 $ (cm²).

Gọi diện tích phần gạch chéo cần tìm là $S$, ta có:

$S = {S_{ADC}} - {S_{vp}} = 8\sqrt 3 - \left( {\frac{{8\pi }}{3} - 4\sqrt 3 } \right) = 12\sqrt 3 - \frac{{8\pi }}{3} = \frac{{36\sqrt 3 - 8\pi }}{3}$ (cm²).