Cho hình chữ nhật ABCD có AB = 2BC. Trong 4 cạnh của hình chữ nhật ABCD, có bao nhiêu cạnh tiếp xúc với đường tròn đường kính AB?

Hướng dẫn giải:

Đáp án: 3

Vì tứ giác ABCD là hình chữ nhật nên AB = CD và \(\widehat {{\rm{BAD}}} = \widehat {{\rm{ABC}}} = 90^\circ \).

Do đó, AB ^ AD tại A, AB ^ BC tại B.

Lại có, A, B thuộc đường tròn đường kính AB nên AD, BC là các tiếp tuyến của đường tròn đường kính AB.

Gọi E là trung điểm của AB, I là trung điểm của DC.

Suy ra AE = EB = DI = IC = \(\frac{1}{2}\)AB.

Mà AB = 2BC nên EB = BC.

Tứ giác EBCI có: EB // IC, EB = IC nên tứ giác EBCI là hình bình hành.

Lại có: \(\widehat {{\rm{EBC}}} = 90^\circ \) nên tứ giác EBCI là hình chữ nhật.

Mà EB = BC nên tứ giác EBCI là hình vuông.

Do đó, \(\widehat {{\rm{EIC}}} = 90^\circ \) và IE = EB.

Suy ra \({\rm{IE}} = \frac{1}{2}{\rm{AB}}\) và EI ^ CD tại I.

Vì \({\rm{IE}} = \frac{1}{2}{\rm{AB}}\) nên I thuộc đường tròn đường kính AB.

Mà EI ^ CD tại I nên CD là tiếp tuyến của đường tròn đường kính AB.

Vậy trong 4 cạnh của hình chữ nhật ABCD, có 3 cạnh tiếp xúc với đường tròn đường kính AB.