Cho hình chữ nhật ABCD có AB = 2AD. Vẽ BH vuông góc AC. Gọi M,N,P lần lượt là trung điểm của AH,BH,CD. Gọi I là trung điểm của BP và J là giao điểm của MC và N. b, N là trực tâm của tam giác

a) Đúng.

Vì \(N,M\) lần lượt là trung điểm của \(AH\) và \(BH\) nên \(NM\) là đường trung bình của tam giác \(AHB.\)

Suy ra \(MN\parallel AB\). (1)

Lại có \(ABCD\) là hình chữ nhật nên \(CD\parallel AB\) suy ra \(PC\parallel AB\) (2).

Từ (1) và (2) suy ra \(MN\parallel CP.\)

b) Đúng.

Ta có \(MN = \frac{1}{2}AB\) và \(PC = \frac{1}{2}DC = \frac{1}{2}AB\) nên \(MN = CP\).

Mà \(MN\parallel CP\) nên \(MNCP\) là hình bình hành.

Suy ra \(CN\parallel MP\).

Ta có \(MN\parallel AB\) mà \(AB \bot BC\) nên \(MN \bot CB\).

Xét \(\Delta MBC\) có \(BH \bot MC\) và \(MN \bot CB\) và \(BH \cap MN = N\) nên \(N\) là trực tâm của \(\Delta MBC\).

c) Đúng.

Vì \(N\) là trực tâm của \(\Delta MBC\)suy ra \(BM \bot CN\).

Mà \(NC\parallel MP\) nên \(BM \bot MP\).

d) Sai.

Có \(J\) là giao điểm của \(MC\) và \(NP\) của hình bình hành \(MNCP\) nên \(J\) là trung điểm của \(PN.\)

Xét \(\Delta PBN\) có \(J\) là trung điểm của \(PN\) và \(I\) là trung điểm của \(BP\) nên \(JI\) là đường trung bình của tam giác \(\Delta PBN\).

Suy ra \(IJ = \frac{1}{2}BN = \frac{1}{4}HB\) hay \(HB = 4IJ.\)