Cho hình chữ nhật ABCD, AB = 8, BC = 6. Điểm M nằm trong hình chữ nhật. Tìm giá trị nhỏ nhất của tổng: .S = MA^2 + MB^2 + MC^2 +MD^2

ABCD là hình chữ nhật nên AC=BD=82+62=10.

Ta đặt MA=x,MC=y.

Xét ba điểm M, A, C ta có: MA+MC≥AC 

do đó x+y≥10⇒x+y2≥100 hay x2+y2+2xy≥100.                  (1)

Mặt khác, x−y2≥0 hay x2+y2−2xy≥0.                         (2)

Từ (1) và (2) suy ra 2x2+y2≥100

⇒x2+y2≥50.

Dấu ''='' xảy ra <=> M nằm giữa A và C và MA = MC <=> M là trung điểm của  AC.

Chứng minh tương tự, ta được: MB2+MD2≥50 dấu ''='' xảy ra <=> M là trung điểm của BD.

Vậy MA2+MC2+MB2+MD2≥100.

Do đó giá trị nhỏ nhất của tổng S là 100 khi M là giao điểm của hai đường chéo AC và BD.