Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O, cạnh a. Cạnh bên

3/16

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O, cạnh a. Cạnh bên \(SA = \frac{{a\sqrt {15} }}{2}\) và vuông góc với mặt đáy (ABCD). Tính khoảng cách d từ O đến mặt phẳng (SBC).

\[d = \frac{{a\sqrt {285} }}{{19}}.\]

\[d = \frac{{\sqrt {285} }}{{38}}.\]

\[d = \frac{{a\sqrt {285} }}{{38}}.\]

\[d = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}.\]

Giải thích

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O, cạnh a. Cạnh bên (ảnh 1)

Ta có : \[OA \cap \left( {SBC} \right) = C \Rightarrow \frac{{d\left( {O;\left( {SBC} \right)} \right)}}{{d\left( {A;\left( {SBC} \right)} \right)}} = \frac{{OC}}{{AC}} = \frac{1}{2}\]

Do đó\[d\left( {O;\left( {SBC} \right)} \right) = \frac{1}{2}d\left( {A;\left( {SBC} \right)} \right).\]

Gọi K là hình chiếu của A trên\[SB \Rightarrow AK \bot SB\,\,\,\left( 1 \right)\]

Ta có: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{BC \bot SA}\\{BC \bot AB}\end{array}} \right. \Rightarrow BC \bot (SAB) \Rightarrow BC \bot AK(2)\)

Từ (1) và (2)\[ \Rightarrow AK \bot \left( {SBC} \right) \Rightarrow d\left( {A;\left( {SBC} \right)} \right) = AK\]

Tam giác vuông SAB, có\[AK = \frac{{SA.AB}}{{\sqrt {S{A^2} + A{B^2}} }} = \frac{{a\sqrt {285} }}{{19}}.\]

Vậy\[d\left( {O;\left( {SBC} \right)} \right) = \frac{1}{2}AK = \frac{{a\sqrt {285} }}{{38}}.\]

Đáp án cần chọn là: C