Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng a. Cạnh bên SA vuông góc với đáy, SB hợp với mặt đáy một góc

2/16

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng a. Cạnh bên SA vuông góc với đáy, SB hợp với mặt đáy một góc \({60^ \circ }\)Tính khoảng cách d từ điểm D đến mặt phẳng (SBC).

\[d = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}.\]

\[d = \frac{{\sqrt 3 }}{2}.\]

\[d = a.\]

\[d = a\sqrt 3 .\]

Giải thích

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng a. Cạnh bên SA vuông góc với đáy, SB hợp với mặt đáy một góc (ảnh 1)

Xác định

\[{60^0} = \widehat {\left( {SB;\left( {ABCD} \right)} \right)} = \widehat {\left( {SB;AB} \right)} = \widehat {SBA} \Rightarrow SA = AB.\tan \widehat {SBA} = a\sqrt 3 \]

Ta có\[AD\parallel BC \Rightarrow AD\parallel \left( {SBC} \right) \Rightarrow d\left( {D;\left( {SBC} \right)} \right) = d\left( {A,\left( {SBC} \right)} \right)\]

Kẻ\[AK \bot SB\,\,\,\,\left( 1 \right)\]

Ta có:\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{BC \bot SA}\\{BC \bot AB}\end{array}} \right. \Rightarrow BC \bot (SAB) \Rightarrow BC \bot AK(2)\)

Từ (1) và (2)\[ \Rightarrow AK \bot \left( {SBC} \right)\]

Khi đó\[d\left( {A;\left( {SBC} \right)} \right) = AK = \frac{{SA.AB}}{{\sqrt {S{A^2} + A{B^2}} }} = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}.\]

Vậy\[d\left( {D;\left( {SBC} \right)} \right) = AK = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}.\]

Đáp án cần chọn là: A