Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành, mặt bên SAB là tam giác vuông tại A, \(SA =

27/30

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành, mặt bên SAB là tam giác vuông tại A, $SA = a\sqrt 3 ,SB = 2a$. Điểm M nằm trên đoạn AD sao cho AM=2MD. Gọi (P) là mặt phẳng qua M và song song với (SAB). Tính diện tích thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng (P).

\[\frac{{5{a^2}\sqrt 3 }}{{18}}\]

\[\frac{{5{a^2}\sqrt 3 }}{6}\]

\[\frac{{4{a^2}\sqrt 3 }}{9}\]

\[\frac{{4{a^2}\sqrt 3 }}{3}\]

Giải thích

$Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành, mặt bên SAB là tam giác vuông tại A, \(SA = (ảnh 1)$

Ta có:

$\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{(P)//(SAB)}\\{M \in AD,M \in (P)}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{(P) \cap (ABCD) = MN}\\{(P) \cap (SCD) = PQ}\end{array}} \right.$ và\[MN\,//\,PQ\,//\,AB\](1)

$\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{(P)//(SAB)}\\{M \in AD,M \in (P)}\end{array}} \right. \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{(P) \cap (SAD) = MQ}\\{(P) \cap (SBC) = NP}\end{array}} \right.$ và$\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{MQ//SA}\\{NP//SB}\end{array}} \right.$

Mà tam giác SAB vuông tại A nên \[SA \bot AB \Rightarrow MN \bot MQ\,\,\,\,\left( 2 \right)\]

Từ (1) và (2) suy ra (P) cắt hình chóp theo thiết diện là hình thang vuông tại M và Q.

Mặt khác

\[MQ\,//\,SA \Rightarrow \frac{{MQ}}{{SA}} = \frac{{DM}}{{DA}} = \frac{{DQ}}{{DS}} \Rightarrow MQ = \frac{1}{3}SA\] và\[\frac{{DQ}}{{DS}} = \frac{1}{3}\]

\[PQ\,//\,CD \Rightarrow \frac{{PQ}}{{CD}} = \frac{{SQ}}{{SD}} \Rightarrow PQ = \frac{2}{3}AB\] với\[AB = \sqrt {S{B^2} - S{A^2}} = a\]

Khi đó\[{S_{MNPQ}} = \frac{1}{2}MQ.\left( {PQ + MN} \right) \Leftrightarrow {S_{MNPQ}} = \frac{1}{2}\frac{{SA}}{3}.\left( {\frac{{2AB}}{3} + AB} \right)\]

\[ \Leftrightarrow {S_{MNPQ}} = \frac{{5{a^2}\sqrt 3 }}{{18}}\]

Đáp án cần chọn là: A