Cho hình chóp S.ABCD . Gọi M,N là hai điểm lần lượt thuộc cạnh AB và CD;

9/30

Cho hình chóp S.ABCD . Gọi M,N là hai điểm lần lượt thuộc cạnh AB và CD;(α) là mặt phẳng đi qua MN và song song với SA . Tìm điều kiện của MN để thiết diện của hình chóp khi cắt bởi mp(α) là một hình thang.

MN và BC đồng phẳng

MN và BC song song với nhau

ABCD là hình thang và MN là đường trung bình của hình thang ABCDABCD

Đáp án khác

Giải thích

Cho hình chóp S.ABCD . Gọi M,N là hai điểm lần lượt thuộc cạnh AB và CD; (ảnh 1)

Ta có:

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{M \in (\alpha ) \cap (SAB)}\\{(\alpha )\parallel SA}\\{SA \subset (SAB)}\end{array}} \right. \Rightarrow (SAB) \cap (\alpha ) = MQ\parallel SA(Q \in SB)\)

Trong (ABCD), gọi \[I = MN \cap AC\] Ta có:

\[\begin{array}{*{20}{l}}{I \in MN,\,MN \subset \left( \alpha \right) \Rightarrow I \in \left( \alpha \right).}\\{I \in AC,\,AC \subset \left( {SAC} \right) \Rightarrow T \in \left( {SAC} \right)}\\{ \Rightarrow I \in \left( \alpha \right) \cap \left( {SAC} \right).}\end{array}\]

Vậy

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{I \in (\alpha ) \cap (SAC)}\\{(\alpha )\parallel SA}\\{SA \subset (SAC)}\end{array}} \right. \Rightarrow (SAC) \cap (\alpha ) = IP\parallel SA(P \in SC)\)

Thiết diện là tứ giác MNPQ .

Để tứ giác MNPQ là hình thang thì cần MQ//NP hoặc MN//PQ .

Trường hợp 1: Nếu MQ//NP thì

Ta có:\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{MQ\parallel NP}\\{MQ\parallel SA}\end{array}} \right. \Rightarrow SA\parallel NP,\) mà \[NP \subset \left( {SCD} \right) \Rightarrow SA\parallel \left( {SCD} \right)\] (Vô lí).

Trường hợp 2: Nếu MN//PQ thì ta có các mặt phẳng (ABCD),(α),(SBC) đôi một cắt nhau theo ba giao tuyến là MN,BC,PQ nên MN//BC.

Đảo lại nếu MN//BC thì\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{PQ = (\alpha ) \cap (SBC)}\\{MN \subset (\alpha )}\\{BC \subset (SBC)}\end{array}} \right. \Rightarrow PQ\parallel MN\parallel BC\) nên tứ giác MNPQ là hình thang.

Vậy tứ giác MNPQ là hình thang thì điều kiện là MN//BC .

Đáp án cần chọn là: B