Cho hình chóp tứ giác S.ABCD , đáy là hình thang ABCD . Gọi O là giao điểm của hai đường chéo AC và BD . I , J lần lượt là trung điểm AD , BC và G là trọng tâm tam giác SAB

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: 3

Ta có: \[\left\{ \begin{array}{l}IJ \subset \left( {JIG} \right)\\AB \subset \left( {SAB} \right)\\IJ\parallel AB\\G \in \left( {GIJ} \right) \cap \left( {SAB} \right)\end{array} \right.\]

Do đó, giao tuyến của hai mặt phẳng \[\left( {JIG} \right)\] và \[\left( {SAB} \right)\] là đường thẳng qua \[G\] và song song với các đường thẳng \[AB,{\rm{ }}JI\].

Giao tuyến qua \[G\] cắt \[SA\] tại \[M\] và cắt \[SB\] tại \[N\].

Thiết diện của mặt phẳng \[\left( {JIG} \right)\] với hình chóp \[S.ABCD\] là hình thang \[JNMI\] vì \[JI\parallel MN\].

\[JI\] là đường trung bình của hình thang \[ABCD\] nên ta có:

\[IJ = \frac{{AB + CD}}{2} = \frac{{kCD + CD}}{2} = \frac{{k + 1}}{2}CD.\]

\[G\] là trọng tâm tam giác \[SAB\] nên ta có \[MN = \frac{2}{3}AB = \frac{2}{3}kCD.\]

Để \[JNMI\] là hình bình hành thì \[JI = NM\].

Suy ra \[\frac{{k + 1}}{2}CD = \frac{2}{3}kCD\]\[ \Leftrightarrow \frac{{k + 1}}{2} = \frac{{2k}}{3}\]\[ \Leftrightarrow k = 3.\]