Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có tất cả các cạnh bằng a. Khi đó khoảng cách giữa đường thẳng AB và mặt phẳng (SCD) bằng

Đáp án đúng là: D

Gọi O là tâm hình vuông ABCD.

Vì S.ABCD là hình chóp tứ giác đều nên SO ^ (ABCD) ⇒ SO ^ CD.

Kẻ OI ^ CD và OH ^ SI.

Vì SO ^ CD và OI ^ CD nên CD ^ (SOI) ⇒ CD ^ OH.

Lại có OH ^ SI nên OH ^ (SCD).

Do đó d(O, (SCD)) = OH.

Vì OI là đường trung bình DACD nên $OI=\frac{AD}{2}=\frac{a}{2}$.

Vì DSCD đều cạnh a nên $SI=\frac{a\sqrt{3}}{2}$ .

Xét DSOI vuông tại O, có $SO=\sqrt{S{I}^2-I{O}^2}=\sqrt{\frac{3}{4}{a}^2-\frac{a^2}{4}}=\frac{a\sqrt{2}}{2}$,

$\frac{1}{O{H}^2}=\frac{1}{S{O}^2}+\frac{1}{O{I}^2}=\frac{2}{a^2}+\frac{4}{a^2}=\frac{6}{a^2}\Rightarrow OH=\frac{a\sqrt{6}}{6}$.

Vì AB // CD nên AB // (SCD). Do đó d(AB, (SCD)) = d(A, (SCD)).

Mà $\frac{d\left(A,\left(SCD\right)\right)}{d\left(O,\left(SCD\right)\right)}=\frac{CA}{CO}=2\Rightarrow d\left(A,\left(SCD\right)\right)=2d\left(O,\left(SCD\right)\right)$.

Do đó $d\left(A,\left(SCD\right)\right)=\frac{a\sqrt{6}}{3}$.