Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD, có O là giao điểm của AC và BD

Theo tính chất của hình chóp đều, ta có \(SO \bot \left( {ABCD} \right)\).

Thể tích khối chóp \(S.ABCD\) là \({V_{S.ABCD}} = \frac{1}{3} \cdot {S_{ABCD}} \cdot SO = \frac{1}{3} \cdot {2^2} \cdot 2 = \frac{8}{3} \Rightarrow {V_{S.ABC}} = \frac{1}{2} \cdot {V_{S.ABCD}} = \frac{4}{3}.\)

Gọi \(I\) là trung điểm của \(CB\), tam giác \(SBC\) có \(SC = SB = \sqrt {S{O^2} + O{B^2}} = \sqrt {{2^2} + {{\left( {\sqrt 2 } \right)}^2}} = \sqrt 6 \) và \(SI = \sqrt {S{O^2} + O{I^2}} = \sqrt {{2^2} + {1^2}} = \sqrt 5 \) nên có diện tích bằng \({S_{\Delta SBC}} = \frac{1}{2} \cdot SI \cdot BC = \frac{1}{2} \cdot \sqrt 5 \cdot 2 = \sqrt 5 \).

Gọi \(J\) là hình chiếu của \(A\) lên mặt phẳng \(\left( {SBC} \right)\), gọi \(\varphi \) là góc giữa đường thẳng \(SA\) và mặt phẳng \(\left( {SBC} \right)\) thì \(\sin \varphi = \sin \widehat {ASJ} = \frac{{AJ}}{{SA}} = \frac{{d\left( {A,\left( {SBC} \right)} \right)}}{{SA}}.\)

Mà \(d\left( {A,\left( {SBC} \right)} \right) = \frac{{3{V_{S.ABC}}}}{{{S_{\Delta SBC}}}} = \frac{4}{{\sqrt 5 }}\). Vậy \(\sin \varphi = \frac{{d\left( {A,\left( {SBC} \right)} \right)}}{{SA}} = \frac{{2\sqrt {30} }}{{15}} \approx 0,73\).

Đáp án: 0,73.