Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có độ dài tất

a) S,b) Đ,c) S,d) Đ.

Hướng dẫn giải

Vì \(S.ABCD\) là hình chóp tứ giác đều nên đáy \(ABCD\) là hình vuông.

Suy ra tâm \(O\) là trung điểm của các đường chéo \(AC\) và \(BD\).

Do đó, \(\overrightarrow {OA}  + \overrightarrow {OC}  = \overrightarrow 0 \) và \(\overrightarrow {OB}  + \overrightarrow {OD}  = \overrightarrow 0 \).

Vậy \(\overrightarrow {OA}  + \overrightarrow {OB}  + \overrightarrow {OC}  + \overrightarrow {OD}  = \overrightarrow 0 \) nên ý a) sai.

Với điểm \(S\), ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {SA}  + \overrightarrow {SC}  = 2\overrightarrow {SO} \\\overrightarrow {SB}  + \overrightarrow {SD}  = 2\overrightarrow {SO} \end{array} \right.\). Suy ra \(\overrightarrow {SA}  + \overrightarrow {SC}  = \overrightarrow {SB}  + \overrightarrow {SD} \) nên ý b) đúng.

Tứ giác \(ABCD\) là hình vuông có độ dài mỗi cạnh là \(a\) nên độ dài đường chéo \(AC\) là \(a\sqrt 2 \). Tam giác \(SAC\) có \(SA = SC = a\) và \(AC = a\sqrt 2 \) nên tam giác \(SAC\) vuông cân tại \(S\), suy ra \(\widehat {SAC} = 45^\circ \). Do đó, \(\left( {\overrightarrow {SC} ,\,\overrightarrow {AC} } \right) = 180^\circ  - \widehat {SAC} = 180^\circ  - 45^\circ  = 135^\circ \).

Suy ra \(\overrightarrow {SA}  \cdot \overrightarrow {AC}  = \left| {\overrightarrow {SA} } \right| \cdot \left| {\overrightarrow {AC} } \right| \cdot \cos 135^\circ  = a \cdot a\sqrt 2  \cdot \left( { - \frac{{\sqrt 2 }}{2}} \right) =  - {a^2}\).

Vậy ý c) sai và ý d) đúng.