Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a, cạnh bên bằng (a căn 5)/2. Số đo góc giữa hai mặt phẳng

27/50

Cho hình chóp tứ giác đều \[S.ABCD\] có cạnh đáy bằng \[a\], cạnh bên bằng \[\frac{{a\sqrt 5 }}{2}\]. Số đo góc giữa hai mặt phẳng \[\left( {SAB} \right)\] và \[\left( {ABCD} \right)\] là:

${30^0}$.

${90^0}$.

${45^0}$.

${60^0}$.

Giải thích

$Cho hình chóp tứ giác đều \[S.ABCD\] có cạnh đáy bằng \[a\], cạnh bên bằng \[\frac{{a\sqrt 5 }}{2}\]. Số đo góc giữa hai mặt phẳng \[\left( {SAB} \right)\] và \[\left( {ABCD} \right)\] là: (ảnh 1)$

Gọi $O$ là giao điểm của $AC$ và $BD.$

Vì $S.ABCD$ là hình chóp tứ giác đều nên $SO \bot \left( {ABCD} \right)$.

Gọi $H$ là trung điểm của $AB.$

Ta có $\left\{ \begin{array}{l}SO \bot AB\\OH \bot AB\end{array} \right. \Rightarrow AB \bot \left( {SHO} \right) \Rightarrow \widehat {SHO} = \widehat {\left( {\left( {SAB} \right);\left( {ABCD} \right)} \right).}$

$OH = \frac{1}{2}AD = \frac{a}{2}$

$OA = \frac{1}{2}AC = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}$

Trong tam giác vuông $SOA$ có $SO = \sqrt {S{A^2} - O{A^2}} = \sqrt {{{\left( {\frac{{a\sqrt 5 }}{2}} \right)}^2} - {{\left( {\frac{{a\sqrt 2 }}{2}} \right)}^2}} = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}.$

$\tan \widehat {SHO} = \frac{{SO}}{{OH}} = \sqrt 3 \Rightarrow \widehat {SHO} = {60^0}.$

Số đo góc giữa hai mặt phẳng $\left( {SAB} \right)$ và $\left( {ABCD} \right)$ là ${60^0}.$

Đáp án D