Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có AB =a, SA = a√2. Gọi G là trọng tâm tam giác SCD. Góc giữa đường thẳng BG với đường thẳng SA bằng:

15/31

Cho hình chóp tứ giác đều \(S.ABCD\) có \(AB = a\), \[SA = a\sqrt 2 \]. Gọi \(G\) là trọng tâm tam giác \(SCD\). Góc giữa đường thẳng \(BG\) với đường thẳng \(SA\) bằng:

\(\arccos \frac{{\sqrt 3 }}{5}\).

\(\arccos \frac{{\sqrt 5 }}{5}\).

\(\arccos \frac{{\sqrt 5 }}{3}\).

\[\arccos \frac{{\sqrt {15} }}{5}\].

Giải thích

Chọn B

Gọi \(O = AC \cap BD\).

Tam giác \(SAO\) vuông : \(SO = \sqrt {S{A^2} - A{O^2}} = \frac{{a\sqrt 6 }}{2}\)

Gắn tọa độ như hình vẽ

Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có AB =a, SA = a√2. Gọi G là trọng tâm tam giác SCD. Góc giữa đường thẳng BG với đường thẳng SA bằng: (ảnh 1)

\(A\left( {0;0;0} \right)\), \(B\left( {a;0;0} \right)\), \(C\left( {a;a;0} \right)\), \(D\left( {0;a;0} \right)\), \(O\left( {\frac{a}{2};\frac{a}{2};0} \right)\), \(S\left( {\frac{a}{2};\frac{a}{2};\frac{{a\sqrt 6 }}{2}} \right)\).

Vì \(G\) là trọng tâm tam giác \(SCD\) nên \(G\left( {\frac{a}{2};\frac{{5a}}{6};\frac{{a\sqrt 6 }}{6}} \right)\).

Ta có : \(\overrightarrow {AS} = \left( {\frac{a}{2};\frac{a}{2};\frac{{a\sqrt 6 }}{2}} \right)\) \( = \frac{a}{2}\left( {1;1;\sqrt 6 } \right)\), \(\overrightarrow {BG} = \left( {\frac{{ - a}}{2};\frac{{5a}}{6};\frac{{a\sqrt 6 }}{6}} \right) = \frac{a}{6}\left( { - 3;5;\sqrt 6 } \right)\).

Góc giữa đường thẳng \(BG\) với đường thẳng \(SA\) bằng:

\(\cos \left( {BG;SA} \right) = \frac{{\left| {\overrightarrow {BG} .\overrightarrow {AS} } \right|}}{{BG.AS}}\)\( = \frac{{\left| { - 3 + 5 + 6} \right|}}{{\sqrt {40} .\sqrt 8 }} = \frac{{\sqrt 5 }}{5}\).