Cho hình chóp tứ giác đều cạnh đáy bằng a, SB = 2a. Tính thể tích khối cầu ngoại tiếp

Vì S.ABCD là hình chóp đều nên đường cao SO của hình chóp cũng chính là trục của đa giác đáy 

Xét ΔBCD vuông cân tại C có  BC = CD = a

⇒ BD = \(\sqrt {B{C^2} + C{D^2}} = a\sqrt 2 \)

⇒ BO = \(\frac{1}{2}BD = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}\)

Xét ΔSOB vuông tại O có  SB = 2a ,  BO = \(\frac{{a\sqrt 2 }}{2}\)

⇒ SO = \(\sqrt {S{B^2} - B{O^2}} = \frac{{a\sqrt {14} }}{2}\)

Trong mặt phẳng (SOB), ta vẽ trung trực của SB, đường này cắt SO tại I. Rõ ràng I là tâm mặt cầu ngoại tiếp S.ABCD

Gọi M là trung điểm của SB

⇒ SM = \(\frac{1}{2}SB = a\)

 Xét ΔSMI và ΔSOB ta có:

Chung \(\widehat S\)

\(\widehat {SMI} = \widehat {SOB} = 90^\circ \)

⇒ ΔSMI ~ΔSOB (g.g)

⇒\(\frac{{SI}}{{SB}} = \frac{{SM}}{{SO}}\)

⇒ SI = \(\frac{{SB.SM}}{{SO}} = \frac{{2a.a}}{{\frac{{a\sqrt {14} }}{2}}} = \frac{{2a\sqrt {14} }}{7}\)

Vì SI chính là bán kính mặt cầu ngoại tiếp S.ABCD nên ta có:

V_{khối cầu} = \(\frac{4}{3}\)π.SI³ = \(\frac{{64\pi \sqrt {14} }}{{147}}\).