Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có góc giữa mặt phẳng (SAB) và mặt đáy bằng Khoảng cách từ chân đường cao của hình chóp đến mặt phẳng (SAB) bằng a. Tính thể tích khối chóp S.ABC.

Gọi H là trọng tâm tam giác ABC và D là trung điểm của cạnh AB.

Khi đó SH ⊥ (ABC) tại H. Do tam giác ABC đều nên CD ⊥ AB tại D, tam giác SAB cân tại S nên SD ⊥ AB tại D.

Ta có:  SAB∩ABC=ABSD⊥AB,SD⊂SABCD⊥AB,CD⊂ABC 

⇒  SAB,ABC^=SD,CD^=SDC^=30°

Trong tam giác SDH, dựng HK ⊥ SD tại K.

Ta có  AB⊥SDAB⊥DC ⇒ AB ⊥ (SCD) mà  HK⊂SCD nên HK ⊥ AB.

Ta có  HK⊥SD,HK⊥ABSD∩AB=DSD,AB⊂SAB ⇒ HK ⊥ (SAB) tại K

⇒ d(H, (SAB)) = HK = a

Xét tam giác DHK vuông tại K:

  DH=HKsinSDC^=HKsin30°=2a⇒ DC = 3DH = 6a

Xét tam giác BCD vuông tại D:   BC=DCsinABC^=6asin60°=4a3

Xét tam giác SDH vuông tại H:

 SH=DH.tanSDC^=2a.tan30°=2a33

Diện tích tam giác đều ABC là

 SΔABC=12.AB.BC.sinABC^=12.4a3.4a3.sin60°=12a23

Thể tích khối chóp S.ABC là

 V=13.SH.SΔABC=13.2a33.12a23=8a3.