Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng a và mặt bên hợp với đáy

77/101

Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng a và mặt bên hợp với đáy một góc 60°. Thể tích khối chóp S.ABC là:

\(\frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{{12}}\)

\(\frac{{{a^3}\sqrt 2 }}{{24}}\)

\(\frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{{24}}\)

\(\frac{{{a^3}}}{{24}}\)

Giải thích

Đáp án đúng là: C

Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng a và mặt bên hợp với đáy (ảnh 1)

Gọi G là trọng tâm tam giác ABC. Vì chóp S.ABC đều nên SG ⊥ (ABC)

Gọi D là trung điểm của BC ta có: AD ⊥ BC

Ta có:

\(\left. {\begin{array}{*{20}{l}}{BC \bot AD}\\{BC \bot SG\left( {SG \bot \left( {ABC} \right)} \right)}\end{array}} \right\} \Rightarrow BC \bot \left( {SAD} \right) \Rightarrow BC \bot SD\)

\(\left. {\begin{array}{*{20}{l}}{\left( {SBC} \right) \cap \left( {ABC} \right) = BC}\\{\left( {SBC} \right) \supset SD \bot BC}\\{\left( {ABC} \right) \supset AD \bot BC}\end{array}} \right\} \Rightarrow \left( {\left( {SBC} \right);\left( {ABC} \right)} \right)\)\( = \left( {\widehat {D;A}D} \right) = \widehat {SDA} = 60^\circ \)

Vì tam giác ABC đều cạnh a nên \(AD = \frac{{a\sqrt 3 }}{2} \Rightarrow DG = \frac{1}{3}AD = \frac{{a\sqrt 3 }}{6}.\)

SG ⊥ (ABC) ⇒ SG ⊥ (ABC) ⇒ SG ⊥ AD ∆SGD vuông tại G.

\( \Rightarrow SG = GD \cdot {\rm{tan}}60 = \frac{{a\sqrt 3 }}{6} \cdot \sqrt 3 = \frac{a}{2}\)

Tam giác ABC đều \( \Rightarrow {S_{\Delta ABC}} = \frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4}\)

\( \Rightarrow {V_{S.ABC}} = \frac{1}{3}SG.{S_{\Delta ABC}} = \frac{1}{3} \cdot \frac{a}{2} \cdot \frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4} = \frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{{24}}.\)